Конспект лекций 2 семестра 143 групп
Глава 1. Дифференциальное исчисление (продолжение из 1 семестра).
§ 1. Частные производные, производная по направлению.
§ 2. Дифференцирование неявно и параметрически заданных функций
§ 3. Дифференциал и формула Тейлора
Глава 2. Неопределённые интегралы.
§ 1. Основные методы интегрирования.
§ 2. Интегрирование рациональных дробей.
§ 3. Интегрирование иррациональностей и тригонометрических функций.
Глава 3. Определённые интегралы.
§ 1. Определение, свойства, методы вычислений
§ 2. Приложения определённых интегралов.
§ 3. Определённый интеграл и ряд Фурье.
§ 4. Несобственные интегралы
Глава 4. Кратные интегралы, элементы теории поля.
§ 1. Кратные интегралы.
§ 2. Замена переменных в кратных интегралах.
§ 3. Криволинейные и поверхностные интегралы от векторных функций.
§ 4. Элементы теории поля.
Глава 5. Дифференциальные уравнения
§ 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка.
§ 2. Дифференциальные уравнения n-го порядка.
§ 3. Линейные дифф. уравнения n-го порядка.
§ 4. Системы дифф. уравнений.
ЛЕКЦИЯ 1 - 11.02.2014
*** Доказать, что градиент ортогонален к поверхности.
*** Вывести формулу производной по направлению.
*** Вывести формулу касательной плоскости к поверхности.
§ 2. Дифференцирование неявно и параметрически заданных функций
*** Вывод формулы производной для параметрически заданной кривой.
*** Вывод формулы
производной
для
неявно заданной кривой
Вывод формулы
производных
,
для
неявно заданной поверхности
§ 3. Дифференциал и формула Тейлора
Определение
дифференциала, отличие
от
Вид формулы Тейлора.
ЛЕКЦИЯ 2 - 18.02.2014
*** Вывод формул Тейлора для некоторых основных функций:
,
,
,
,
.
Понятие условного экстремума, пример
Глава 2. Неопределённые интегралы
Введение.
Определение первообразной и неопределённого интеграла.
Свойство: F+C тоже является первообразной.
§ 1. Основные методы интегрирования.
1.1. Подведение под знак дифференциала
примеры -
,
1.2. Замена переменной
пример
1.3. Преобразования выражения под интегралом
пример -
,
пример -
(выделение полного квадрата)
пример -
(понижение порядка)
Важное свойство
в преобразованиях, всегда можно
использовать
то есть прибавлять константу внутри
знака дифференциала, от этого ничего
не изменится, но структуру так можно
преобразовать. Ведь дифференциал от
константы равен 0.
1.4. Интегрирование по частям.
*** Доказать формулу
«интегрирования по частям»
Доказывается эта
формула с помощью правила дифференцирования:
Примеры:
ЛЕКЦИЯ 3 - 25.02.2014
Примеры:
,
,
.
Циклические интегралы.
пример
.
*** Вывод формулы
для интегралов
.
Пример.
.
§ 2.Интегрирование рациональных дробей.
Про выделение целой части, сведение к правильной.
Простейшие дроби
(где знаменатель дальше не распадается
на множители), их вычисление:
Общий случай (когда знаменатель надо сначала разложить на множители, предварительно находить корни знаменателя).
1) Если все корни
знаменателя разные, пример
.
2) Если есть кратные
корни, + пример
.
3) Если есть
комплексные корни, + пример
.
ЛЕКЦИЯ 4 - 04.03.2014
§ 3.Интегрирование иррациональностей и тригонометрических функций.
,
замена
,
тогда
,
.
Если корни разного
порядка.
,
где
.
,
все корни преобразуются в целые степени
от
,
например:
.
Пример
=
=
.
*** Доказать, что
замена замена
в интеграле
сводит интеграл к рациональной дроби
от
.
Интегрирование тригонометрических выражений.
Случай 1. Нечётная относительно cos функция в интеграле.
.
Замена:
,
при этом:
,
,
.
Случай 2. Нечётная
относительно sin
функция в интеграле.
Замена:
,
при этом:
,
,
.
Пример:
.
Смысл всех этих
подстановок: в результате их действия
получается корень в чётной степени, так
как тригонометрическая функция
преобразуется к виду корня нечётной
степени, и это делится или домножается
ещё на корень из dx,
в итоге в любом случае будет чётная
степень корня.
.
Случай 3. Суммарная
степень нечётна, то есть
.
Замена:
,
тогда
,
,
,
.
Пример:
=
=
=
.
Универсальная
тригонометрическая подстановка
при этом:
,
,
,
.
Пример:
.
Интегрирование
выражений типа
,
,
сводящихся к тригонометрическим.
.
(или
).
При этом
,
.
Пример
=
.
Пример - Доказательство
формулы
.
(или
).
При этом
,
.
(или
).
При этом
,
.
Доказать, что корень преобразуется в тригонометрическое выражение.
ЛЕКЦИЯ 5 - 11.03.2014
Глава 3. Определённый интеграл.
§ 1. Определение, свойства, методы вычислений
Определение.
Свойства:
1.
,
2.
,
3.
,
4.
,
5. если
то
,
6. если
то
,
7.
,
8. если
то
,
9. существует такое
,
что
10. если f
непрерывна то сущ. точка
,
что
.
*** Теорема 1.
является первообразной для
.
*** Теорема 2.
Ньютона-Лейбница.
.
Пример
.
Вид формулы интегрирования по частям для опред. интеграла. Особенности замены переменной в определённом интеграле (пересчёт пределов интегрирования, не возвращаться к старой переменной).
Пример.
.
§ 2. Приложения определённых интегралов.
Вычисление площадей.
Пример с применением
обратной функции для
.
Вычисление объёмов тел вращения.
*** Вывод формулы
,
Пример: доказательство этим методом формулы объёма шара.
Длина дуги кривой.
*** Вывод формулы
в декартовых координатах для явно
заданной кривой
.
Для параметрически заданной в плоскости и пространстве:
.
.
Длина кривой в
полярной системе координат:
.
ЛЕКЦИЯ 6 - 18.03.2014
§ 3. Определённый интеграл и ряд Фурье.
Скалярное произведение функций (f,g).
Норма функции.
*** Вывод формулы коэффициента Фурье для произвольной ортогональной системы:
или
.
Основная ортогональная система.
Ряд Фурье
.
Свойства ряда Фурье при чётности или нечётности функции.
Пример: разложить
в ряд Фурье функцию
ЛЕКЦИЯ 7 - 25.03.2014