7. Логарифмдік теңсіздік

Айнымалысы логарифм таңбасына тәуелді теңдеулерді логарифмдік теңдеу деп атайды. Логарифмдік теңсіздіктерді шешуге логарифмдік функцияның қасиеті қолданылады. Негізі артық болса өспелі, негізі кемімелі функцияның қасиеттері қолданылады. Осыған байланысты теңсіздіктің анықталу аймағы

(18)

Осыған ұқсас

(19)

(не ) (не )

түріндегі теңсіздіктерді қарастырайық. Мұндағы –белгілі бір сан. Мұндағы әр теңсіздіктің шешімі өзінің берілген теңсіздіктің анықталу аймағында теңсіздіктердің екі жүйесінің жиынтығының шешіміне мәндес. Ол үшін логарифмдердің келесі қасиеті қолданылады: 1) егер логарифмделінетін санмен логарифмнің негізі бірліктің бір жағында орналасса, онда логарифм оң болады; 2) егер логарифмделінетін санмен логарифмнің негізі бірліктің екі жағына орналасса, онда логарифм теріс болады. Осы қаиеттің негізінде

(20) теңсіздігі

(21)

теңсіздіктер жиынтығымен мәндес. Ал,

(22) теңсіздігі келесі

(23)

теңсіздіктер жүйесінің жиынтығымен мәндес. теңсіздігін теңсіздігімен ауыстыруға болады және логаримдік функцияның монотондық қасиеті қолданылады, сондықтан

(24) теңсіздігі

(25)

теңсіздіктер жүйесінің жиынтығымен мәндес. Ал,

(26) теңсіздігі

(27)

теңсіздіктер жүйесінің жиынтығымен мәндес.

Логарифмдік теңсіздіктерді шешу барысында теңсіздіктің анықталу аймағын табу өте маңызды.

1-мысал. теңсіздікті шешу керек, мұндағы

Шешуі: Берілген теңсіздік болғанда анықталады. Теңсіздіктің анықталу аймағы (2;6). Анықталу аймағында теңсіздікті түрлендіріп жазсақ, . болғандықтан немесе Осы теңсіздіктің шешімдер жиыны және аралықтарынан тұрады. Теңсіздік шешімі аралығы болады.

2-мысал. теңсіздігін шешу керек.

Шешуі: Теңсіздік болғанда анықталады. Ол теңсіздігімен мәндес. болғандықтан не бұдан теңдеуіне сәйкес түбірлері Олай болса, квадрат теңсіздіктің шешімі Анықталу аймағында еді. Сондықтан берілген теңсіздіктің шешімі (0;4) аралығы.

№ 12 лекция. Жоғары дәрежелі теңдеулерді шешуді әдістемесі

Жоспары

1. Жоғары дәрежелі теңдеулерді шешуді студенттерге үйрету арқылы оларда шығармашылық дағдыны қалыптастыру

2. Феррари әдісі бойынша шешу.

3. Теңдеуді бір функцияға көбейту әдісімен шешу.

4. Белгілеу арқылы шешілетін жоғары дәрежелі теңдеулер

5. Функциялардың суперпозициясын қолдану әдісімен шешу.

6. Өзбетінше орындалатын тапсырмалар

7. Қорытынды

1. Жаңа айнымалы енгізу арқылы шешілетін теңдеу түрлеріне мысалдар.

1-мысал: теңдеуін шешу керек.

Шешуі: теңдеу төртінші дәрежелі қайтарымды теңдеу, өйткені n=4. x 0 екендігін ескеріп, теңдеудің екі жағын да -қа бөліп, теңдеуді мынадай түрге келтіреміз.

айнымалысын енгізіп,

теңдігін ескеріп, мынадай квадрат теңдеуге келеміз

Бұл теңдеуді шешіп тауып және х айнымалысына көшіріп, х-ті табамыз.

Жауабы:

2-мысал: теңдеуін шешу керек.

Шешуі: Теңдеу біртекті теңдеу: q болғандықтан теңдеудің екі жағын да бөліп, теңдеуді мынадай түрге келтіреміз.

k белгілеуін енгізіп, k k+5=0 теңдеуінен k ; k мәндерін табамыз. Сонымен берілген теңдеу теңдеулер жиынтығымен мәндес:

Яғни

Теңдеулерінің жиынтығын шешеміз:

теңдеудің еселік түбірі деп аталады.

Жауабы:

Өзбетінше жұмысқа берілетін есептер

2. Көбейткіштерге жіктеу арқылы шешу.

5-мысал: теңдеуін шешу керек.

Шешуі: Теңдеудің рационал түбірлері жоқ. Демек теңдеудің сол жағын көбейткіштерге жіктеу үшін анықталмаған коэффициенттер әдісін пайдаланамыз. Теңдеудің сол жағындағы төртінші дәрежелі көпмүшені екі вкадрат үшмүшенің көбейтіндісіне жіктейміз.

(мұндағы р, q, b және с – бүтін сандар) түрінде жаздық.

х-тің дәрежелеріне сәйкес коэффициенттерін теңестіреміз:

(1)

(2) (А)

(3)

(4)

Жүйені бүтін сандарда шешу керек, (4) теңдіктен бастаймыз.

qc= - 14 болғандықтан: жағдайлары болуы мүмкін. Егер q=2, c=-7 десек, бұл жағдайда жоғарыдағы (А) жүйенің екінші, үшінші теңдеуі

Теңдеулер жүйесін береді. Осы жүйені екінші теңдеуінен b=1 (бүтін түбірі) болғанда, p=-5 (A) жүйенің бірінші теңдеуі b=1және p=-5 болғанда қанағаттандырылады. Сонымен, берілген теңдеу

көбейткіштерге жіктеледі, яғни өзімен мәндес

теңдеулер жиынтығын шешуге келтіріледі.

Жауабы:

6-мысал: теңдеуін шешу керек.

Шешуі: болса, онда теңдеуді

түрінде жазамыз.

Мұнан теңдеуінен тең.

Жауабы: .

10-мысал: теңдеуін шешу керек.

Шешуі:

1) 2)

Жауабы:

11-мысал: теңдеуін шешу керек.

Шешуі: Теңдеудің сол жағындағы көпмүшені түрлендіреміз.

1) 2) нақты шешімі жоқ.

3. Безу теоремасы бойынша шешу.

6-мысал: теңдеуін шешу керек.

Шешуі: Теңдеудің коэффициенттері бүтін сандар. Безу теоремасында бос мүшенің бөлшектерін аламыз, сол бөлшектерді теңдеуге қойғанда теңдік орындалатындай болуы керек. 5-тің бөлгіштері: Ең болмағанда бір бүтін түбірі болуы мүмкін. Екінші жағынан теңдеудің сол жақ бөлігіндегі көпмүшенің коэффициенттерінің қосындысы нөлге тең, ал бұл х=1 осы теңдеудің түбірі болатындығын анықтайды. Безу теоремасы бойынша берілген теңдеудің сол жағы

К өбейткіштерге жіктелетіндігін айқындайды. көпмүшенің коэффициенттерін Горнер схемасын пайдаланып табамыз:

	1	2	-2	-6	5
1	1	3	1	-5	0

Сонда көбейткіштерге жіктеледі. теңдеуінің де коэффициенттерінің қосындысы нөлге тең, олай болса оның түбірі болады. Тағы да Гонер схемасын пайдаланамыз:

	1	3	-1
1	1	4	5

көбейткіштерге жіктеледі. Бастапқы теңдеу

түріне келді, ал бұл

нақты түбірі болмайды.

Теңдеулер жиынтығымен мәндес.

Жауабы: х=1.