1. Сан теңсіздіктері және олардың қасиеттері

Нақты сандарды сан оіснде нүктелер арқылы кесікіндеуге болады, олар реттеліп, тығыз орналасады, сан осінде орналасқан екі санның қайсысы оң жағына орналасса, сол сан артық болып есептеледі.

Егер саны санынан кем болса, онда ал артық болса деп жазылады.

және (не және ) мағыналас теңсіздіктер деп атайды.

Егер және болса, онда оларды қарама-қарсы мағыналы теңсіздіктер деп атайды. , не қатаң теңсіздіктер, , не қатаң емес теңсіздіктер деп аталады. жазуы да қолданылады, мұны тұжырымсыз (қатаң емес) теңсіздік дейді. Ол әрі екі пікірді білдіреді.

Егер болса, онда

Егер болса, онда

Егер болса, онда

Егер болса, онда түрінде жазады. қос теңсіздік, мұндағы және теңсіздіктердің екеуі де дұрыс.

Сан теңсіздік терінің төмендегідей қасиеті бар:

1. Егер , онда ; , онда .

2. Егер және с-кез келген сан, онда .

3. Егер және , онда ; егер және , онда .

4. Егер мен таңбалас болса, және , онда .

5. Егер және , онда

6. Егер және , мұндағы -оң сандар болса, онда

7. Егер және , онда .

8. Егер болса, онда мұндағы

Бұл қасиеттер қатаң емес теңсіздіктер үшін де орындалады.

Егер теңсіздіктің бір қосылғышын қарама-қарсы таңбамен басқа жағына ауыстырғанда шығатын әуелгі теңсіздікпен мәндес болады, яғни ол теңсіздікте дұрыс болады.

Көбірек қолданылатын белгілі теңсіздіктерді атап өтейік:

1) Егер мен кез келген нақты сандар болса, онда (1)

2) Егер мен бірдей таңбалы болса, онда (2)

3) Егер болса, онда (3)

4) Егер , болса, онда (4)

5) (5) Бернулли теңсіздігі деп аталады, мұндағы натурал сан.

6) Егер натурал сан болса, онда (6)

7) Кез келген натурал саны үшін

(7)

8) Кез келген натурал саны үшін

(8)

9) Егер нақты сандар болса,

(9)

10) Егер -үшбұрыш қабырғаларының ұзындығы болса, онда

(10)

2. Бір айнымалысы бар теңсіздік

(1) түріндегі теңсіздікті бір айнымалысы бар теңсіздік деп атайды. Мұндағы , -берілген айнымалының функциясы.

(1) теңсіздіктің анықталу аймағы деп пен функцияларының анықталу аймақтарының ортақ аймағын айтады.

, , сияқты теңсіздіктер жиі қолданылады. Берілген теңсіздікті дұрыс санды теңсіздікке айналдыратын айнымалының мәнін теңсіздіктің шешімі деп атайды. Бір айнымалысы бар теңсіздікті шешу дегеніміз оның барлық шешімдерін табу, не ешбір шешімнің жоқ екенін көрсету деген сөз. Шешімдер жиыны бірдей екі теңсіздікті мәндес теңсіздіктер деп атайды.Теңсіздіктерді шешудің идеясы мынадай: берілген теңсіздікті өзімен мәндес, бірақ, барынша жай теңсіздікпен ауыстырады. Кейде мұндай түрлендіруді бірнеше рет жасауға тура келеді. Мұндай ауыстырулар көбінесе келесі теоремалар негізінде жасалады:

1-теорема. пен теңсіздіктері мәндес.

2-теорема. Егер функциясының теңсіздігінің анықталу аймағында мағынасы болса, онда және теңсіздіктері мәндес.

3-теорема. Егер теңсіздігінің анықталу аймағында -тің барлық мәні үшін болса, онда пен теңсіздіктері мәндес.

4-теорема. Егер теңсіздігінің анықталу аймағындағы барлық –тер болса, онда пен теңсіздіктері мәндес.