№ 1 Лекция.

Тақырыбы: «Есеп туралы жалпы ғылыми көзқарас пен есеп шығару»

Жоспары

• «Есептерді шешуге үйрету әдістемесі» пәні туралы.

• Есеп туралы түсінік.

• Математиканы оқыту процесінде есептердің мәні

1.«Есептерді шешуге үйрету әдістемесі» пәні туралы

Студенттердің математикалық мәдениетін қалыптастыруда есептерді шешуді терең және берік меңгерудің мәні зор. Ондағы басты мақсат студенттерді болашақ математика мұғалімі етіп кәсіби дайындауда, математикалық мәдениетті, студенттердің оқу-танымдық қызметін ұстанымдық ұйымдастыруда оларда кәсби біліктілікті қалыптастыру мен дамыту математикалық есептерді өзбетерінше және шығармашылықпен үйренуде қалыптасады.

Шындығында, болашақ математика мұғалімдерінен математикалық фундаментальдық жалпы және мамандалған математикалық білім ғана емес, өздерінің пелагогикалық қызметтерінде білімдерін үздіксіз жетілдіру қабілеттілігі мен өздерінің кәсіби қызметіне шығармашылықпен қарым-қатынасында іскелік бастамалар көрсету талап етіледі. Педагогикалық жоғары оқу орындарының студенттері белгілі бір ойластырылған жүйемен математикалық есептерді шығаруды үйрене отырып, мектеп математика курсының математикалық есептерінің математикалық мазмұнын белсенді түсініп қана қоймай, оны шешуде кәсіби дағы мен әдістемелік білікті терең меңгереді, ғылыми және әдістемелік ойлау қабілеттін дамытады.

Олар мынадан,мысалы: есептерді шешуде кез келген әдіс пен тәсілдерді кәсіби пайдалану біліктілігінде, есептер шартын өзгерте білуде, пайдалы ақпаратты сенімді түрде әдістемелік бөліп ала білу білігінде, берілген есеп базасын жаңаша құра білуде, кәсіби және әдістемелік бақылай білу білігінде байқалады. Сондықтан, пдагогикалық ЖОО математиканы оқыту әдістемесі және жоғары мектеп математикасын оқыту дидактикасы алдында оқытудың барлық мақсаттарын (білімділік, дамытушылық, тәрбиелік) жүзеге асыруда есептерді таңдай білу жүйесіне, білім беруді даралау әдістерін жүзеге асыру үшін практикалық мазмұнды есептерді құрастыруға байланысты практикалық маңызды мәселелер қатары анықталады.

2. Есеп туралы түсінік.

Көптеген зерттеуші ғалымдардың түйіндеген ойынша есептер математиканы оқытуды ұйымдастырудың және оқу-танымдық қызметін басқарудың негізгі құралы болып табылады. Психология-педагогикалық әдебиеттер білім беру мен тәрбиелеуде есептерді қолданулардың әртүрлі аспектлерін қарастырып жүргенін атап айтпаса болмайды. Мәселен, белгілі психологтар Д.Б. Богоявленский, В.В. Давыдов , В.П. Зинченко , А.Н. Леонтьев , А.М. Матюшкин, Н.А. Менчинская , С.Л. Рубинштейн зерттеулерінде есеп ұғымын мәнін ойлау қызметінің мақсаты ретінде аша келе, оқу үрдісіндегі есептің мәні мен атқаратын қызметін жан-жақты қарастрады, есептерді шешу үрдісінің негізгі заңдылықтарын бөліп көрсетеді.

Педагогикалық психологияда есепті былай қарастырады:

- теориялық материалдарды меңгеруді қамтамасыз ететін шарттар (Г.А. Балл) /66./;

- ойлауды қалыптастыру және дамыту құралы (Е.Н. Кабанова-Меллер /67./, С.Л. Pубинштeйн /65./);

-білімді меңгеру формасы (А.Ф. Эсаулов) /68./;

- білімді меңгеру нәтежесі мен оның тиімділігінің көрсеткіші сияқты (Л. Л. Гурова) /69./

Психологиялық әдебиеттерде "есеп" туралы әртүрлі пікірлер айтылады , негізінде ойлау объектісі түрінде қарастырылады.

Біздің түінігімізде есеп – ойлау дамитын және қалыптасатын, білім меңгерілетін, нақты нәтежелердің жетістіктерінің құралы және жолын ашатынүрдістегі қызметің мақсаты

Өмірде және ғылымда"есеп" термині кең қолданылады.Бұл ұғыммен математикада ғана емес басқада көптеген және әртүрлі түсініктер сипатталады. Қазіргі таңда "есеп" түсінігігінің жалпы анықтамасы жоқ.

Ғылыми және оқу әдебиеттерінде келтірілген осы ұғымға түсінік беруге тырысқан түсініктерге қысқаша тоқталайық. Үлкен советтік энциклопедияда: "Есеп, 1) жетуге ұмтылатын алға қойылған мақсат; 2) тапсырма, міндеттеме; 3)белгілі білімге және ойлауға негізделіп шешуді қажет ететін сұрақ, (математикалық есеп, шахматтық есеп, логикалық есеп, жазбаша есеп), мәселе 4) жалпы білім беретін және арнаулы оқу орындарының барлық типтерінде оқушыларға білім беру мен олардың білімдері мен практикалық дағдыларын тексеру әдістерінің бірі. /БСЭ, с. 277/. Есепке осылай анықтама беру мақсат, тапсырма, сұрақ, мәселе, білім беру және тексеру әдісі ретінде көрінеді.

Психологиялық әдебиеттерде есеп ұғымына әртүрлі анықтамалар берілген. Мәселен, Г.А. Балл, "есеп ұғымының өзіне нақты анықтама беруге болмайды " деп атап көрсете келіп, ал кейбір психологиялық әдебиеттерде "есеп" термині " әртүрлі үш катергорияларға жататын объектлерді анықтау үшін қажет екенін айтады:

1. субъектға әсер ету мақсаты категориясы , талап, субъектының алдына қойылатын талап: бұл жағдайда "есеп" (Aufgabe) терминін, мәселен, Вюрцбург мектепбінің психологтары қолданған;

2. қол жеткізу керек шарты мақсаты бар жағдай категориясы;

3. осы жағдайаты сөзбен тұжырымдайтын категория ("есеп" термині туралы ондай түсінік С.Л. Рубинштейн мен оның шәкірттеріне тән)" /66, с. 75./. Осылай, әртүрлі берілген анықтамаларды талдай келе Г.А. Балл есептердің үш түрін бөліп алады: есеп, ойлау есебі, мәселелік есептер.

Оқыту әдістемесінде есеп туралы түсінік екі күйде болатын күрделі жүйе түрінде тұжырымдалады: бастапқы және қажетті. (Г.А. Балл, /66./; Ю.М. Колягин /88./.Осындай үйлесім мәселені зерттеуді математика есептерін шешуді оқыту әдістемесінде ғана емес, сол сияқты математиканы есептер арқылы оқыту әдістемесі мәселелерінде де қарастыруға мүмкіндік береді. /Ю.М. Колягин, А.А. Столяр/. Соңғы жылдарда есептер теориясына Н.Г. Алексеев, Г.А. Балл, И.Б. Бекбоев, Л.Л. Гурова, В.И. Крупич, ЮМ. Колягин, Г.И. Саранцев, А.А. Столяр, Л.М. Фридман т.с.с. маңызды үлес қосты.

Жоғарыда алынған зерттеулерден есептердің қойылымы, олардың құрылымы, есептер типологиясы, математиканы есептер арқылы оқыту және есептерді шешуді оқыту әдістемесі мәселелері қойылады және шешіледі. Есеп және оның ұқұрылымы туралы түсіеік негізгі орын алады.

Есептердің қиындығы мен күрделілігі түсінігі есеп ұғымымен т ығыз байланасты.Осы мәселені шешуге өздерінің зерттеулерін (Г.А. Балл, И. Ганчев, Р.А. Гильманов, К.С. Богушевский, А.П. Зенкович, Ю.М. Колягин, В.И. Крупич, А.М. Сохор, А.А. Столяр, В.П. Мизинцев, В. Оконь, А.М. Матюшкин т.с.с.) арнады.

3.Математиканы оқыту процесінде есептердің мәні

Осыған дейінгі зерттеулерді талдай келе, есептердің қиындығы мен күрделілігін оны шешу үрдісі арқылы анықтауға болатынын тағайындауға болады.

Есептерді шешу үрдісінде маңызды мағанаға көңіл бөлу керек, сол сияқты математикалық есептерді шешу барысында болашақ мұғалімдерге қажетті төмендегідей кәсіби біліктілік қалыптасады:

- ұғыну; - керектіні бөліп алу; - жалпылау; - жүйелеу; - анализ;- нақтылау;- моделдеу;- құрылымдау;- ойлау қызметін жүзеге асыру т.с.с..

Америкалық педагог-математик Д. Пойа: "Математиканы меңгеру деген не? Ол дегеніміз, стандарты ғана емес, белгілі ойлануға тәуелсіз, саналы мағаналылықты, түпнұасқалық, өнертапқыштықты талап ететін есептерді шеше білу Сондықтан орта мектеп математика курсының бірінші және ең басты міндеті есептерді шығару үрдісінің әдістемелік жағын атап көрсету болып табылады. " /96/.

"Есептерді шешудің әдістемелік негіздері" курсы мазмұнында жетекші рольді есептер алады. Математиканың теориялық негізін есеп формасында үйрету студенттердің ойлануын белсендіреді, мейірімділік, беріктік, білімнің тереңдігі, толықтығы, жүйелілік сияқты математика мұғаліміне керекті қасиеттерді қалыптастырады. Сонымен бірге, есептер студенттерде математикалық білім, білік, дағды жүйелерін қалыптастыратын бірден-бір маңызды құрал болып саналады; ал есептерді шығару- болашақ математика мұғалімінің оқу және кәсіби қызметінің жетекші формаларының бірі , математикалық дамуының құралы.

Әрбір шығарылған есептің өзінің әдістемелік мақсаты бар. Сондықтан, оқытушы есептің тез және қатесіз шығуына ғана емес, машықтануды дамытумен қатар есепті шешу шығармашылықпен жүзеге асырылып, одан керекті қорытындылар шығара алатындай болу керектігін ескеруге тиіс. Математиканы үйренумен белсенді айналысу деген сөз есептерді шығара білу.Әртүрлі авторлар есеп түсінігіне әртүрлі мағана береді, ал көптеген әдіскерлер есептерді жаттығулардың тегіне жатқыза отырып, оның ішінде "мысалдар" ретінде есептеушілік сипатта және теоремаларды дәлелдеу тапсырмалары түрінде өте кең мағана береді.

Оқытуға арналған математикалық есептердің мәні.

а) білім

б) практикалық

в) ойды дамытушылық

г) тәрбиелік мәні

1. Математиканы оқыту процесіндегі есептердің ролі.

• оқытушылық математикалық есептерді шешу барысында

• оқушылардың ойлау қабілетін дамыту

• математикалық есептердің тәрбиелік мәні

• есептер математикалық ұғымды меңгеру үшін қажет.

• есептер математикалық символиканы меңгеру үшін қолданылады.

• есептер дәлелдеуді оқыту үшін

• есептер математикалық білік, дағды қалыптастыру үшін қажет.

• есептер шешу кезінде қабылдау, ойлай білу және есептер шешу кезіндегі еске сақтау.

• есеп арқылы ойлауды оқыту.

• оқушылардың ойлау қызметінің пәрменділігін арттыратын есептер.

Математиканы оқыту процесінде есептер әр түрлі міндеттер атқарады.

Математикалық есептер жалпы алғанда теорияны меңгеруге. Орта мектепте математиканың әдістері мен ұғымдарын меңгеруге қажетті бірден-бір тиімді құрал болып есептеледі. Оқушылардың ойлау қабілетін дамытуда тәрбие беруде және оқушыларға математиканың практикалық істерге қолданылуы туралы білім, білік қалыптастыруда есептердің атқаратын ролі зор.

Есептер математиканы оқытуға қойылатын мақсаттардың бәріне жақсы қызмет етеді. Міне сондықтан да есептер шешуге бүкіл математиканы оқытуға жұмсалатын уақыттың жартысынан көбі жұмсалады. (5-10 сыныптарда 700-800 академиялық сағат).

Математикалық есептерді дұрыс шешкізіп оқытудың жақсы әдісі жоғары деңгейдегі математикалық білім, білік, дағды қалыптастыруда айтарлықтай зор роль атқарады.

Бұл тарауда математиканы оқытуға есептер қолданудың жалпы және барынша маңызды аспектілері, есептер шешуге қолданылатын жалпы әдістер және т.б. қарастырылады. Сабақ кезінде математика есептерін шешуге және оны талдап шешуге ерекше мән берілді. Оқу процесінде қолданылатын есептер шешудің практикалық ұсыныстары айтылады.

(а) Математикалық есептердің білім берерлік мәні.

Математикалық есептерді шеше отырып, оқушылар көптеген жаңа мәселелерді таниды: есеп шартында жазылған жаңа жағдайлармен танысады, математикалық теорияның есептер шешуге қолданылуын, есептер шешудің жаңа әдістерін танымдық немесе есептер шешуге қажетті математиканың жаңа бір саласымен танысады, т.б. Басқа сөзбен айтқанда оқушы математикалық есептерді шешу барысында тереңдетеді. Белгілі бір класқа жататын есептер тобын шешудің әдісін игеру арқылы оқушыларда есептер шеше білу, яғни жеткілікті түрде жаттығу арқылы дағды қалыптастырып, математикалық білімін көтереді.

(б) Математикалық есептердің практикалық мәні.

Математикалық есептерді шешу барысында оқушы математикалық білімдерін практикалық қажеттіліктерге пайдаланады, өзінің болашақтағы практикалық қызметіне (қажетті) керекті істермен айналысады. Практикалық қажеттілігі бар барлық конструкторлық есептерде математикалық есептер шешуге тура келеді. Процестерді сипаттап жазумен зерттеу математикалық аппаратты қолданбай, яғни математикалық есептеулерсіз мүмкін емес. Математикалық есептер физикада, химияда, биологияда, электротехника мен радиотехникада, ең алдымен олардың теориялық негіздерін түсіндіруге қажет. Бұл есептерді шешкенде көбінесе физикалық, химиялық, географиялық және техникалық-практикалық мәні бар есептер қарастыру қажетсінеді.

(в) Оқушылардың ойлана білу дағдысын дамытудағы математикалық есептердің мәні.

Математикалық есептер шешу оның шартында берілгендер мен іздендіні салыстыруға, әсіресе берілгендерді, фактілерді керісінше салыстыруға, проблемалар мен қорытынды бір-бірінен ажыратыға мүмкіндік береді. А.Я. Хинчиннің айтуынша математикалық есептер оқушыларды дәлелді дұрыс ойлауға үйретеді. Есептер толығынан дәлелді, белгілі заңдар негізінде жалпы қорытындылар жасайды, дәлелді аналогияға сүйеніп, барлық жағдайларды қарастырады.

Математикалық есептерді шешу арқылы ерекше ойлау стилі, ойымыздың формальді-логикалық схемасы, ойдың орнықтылығы, ойлау жолының дәлдігі, символиканы қолдана білу, еске сақтау, көз алдына келтірудің дәлдігіне үйретеді.

Математикалық есептердің тәрбиелік мәні

Есептер өзінің мазмұны арқылы тәрбиелейді. Қоғам дамуына қарай есеп мазмұны да өзгереді. Россияның революциядан бұрынғы есептер жинақтарында және қазіргі капиталистік елдерде сатып алу, сатып беру кезінде табыс табу, азартты ойындар туралы есептер бар.

Мектебінің оқулықтарында оқушылардың моральдық сапасы, ғылыми дүние таным, интернационализм, коллективизмге, отанды сүюге тәрбиелейтін есептер бар. Отанды сүюге, халық шаруашылығының жетістіктерін насихаттайтын есептер бар. (Қазіргі біздің жас Республикадағы есептер). Есептер шешу дұрыс жолға қойылса оқушы ұстамдылық, шыдамдылыққа, өз жолдасының еңбегін бағалай білуге үйренеді. Мектепке математикалық анализдің ендірілуі оқушылардың диалектикалық-материалистік дүние танымын қалыптастыруға мүмкіндік туды. Білімнің негізі дүниетаным халықаралық конференция.

№ 2 лекция

Тақырыбы: «Математиканы оқытудағы есептердің ролі мен атқаратын

қызметі

Жоспары

• Математиканы оқытуда есептің ролі.

• Математиканы оқытуда есептің атқаратын орны

• Математикалық білік және дағды қалыптастыруға арналған есептер

• Тепе-тең түрлендірулер.

Әрбір нақты математикалық есеп бірнеше педагогикалық, дидактикалық, оқытудың мақсаттарының іске асуын, олардың дамуына ықпал ету мақсатын алға қояды. Бұл мақсаттар есептің мазмұны, не қолданылуы арқылы іске асады. Мұғалім есептер арқылы дидактикалық талаптар қойғанда есептің оқыту процесіндегі мәнін көрсетеді.

Есеп мазмұнынан және оны қолданудың дидактикалық талаптарынан мыналарды бөліп алуға болады.

Математикалық есептердің оқытудағы орны (білім, білік, дағды).

а) Математикалық ұғымдарды меңгеру үшін есептер шешіледі.

Математикалық ұғым қалыптастыру ұғыммен оның анықтамасы мен қасиетімен көп жұмыс жүргізу керек. Бұларды құрғақ жаттаудан ұғым қалыптаспайды. Көптеген жаттығулар орындап есептер шешкенде ұғым қалыптастырғанда оқушының нақты білімі болады. Мысалы, логарифм ұғымын меңгеруде көрсеткіштік функция мен оның мәндерін логарифмдік формада жазу және керісінше, сондай-ақ белгісізді логарифмге тәуелді жай логарифмдік теңдеулер шешу, бұлардың негізінде нақты мысалдар арқылы логарифмнің анықтамасын қалыптастыру,

а^logx=x, a>0, a≠1, x>0.

Бұл арада мынадай есептер шешу пайдалы:

1. Мынадай анықтама дұрыс бола ма?

а^x=x теңдігін қанағаттандыратын дәреже көрсеткіш а негіздегі в санының логарифмі деп аталады.

2. Келесі тұжырымды талдаңдар: “Берілген санның берілген негіздегі логарифмі дәреже көрсеткіш болып табылады”. Осы сөйлем логарифмнің анықтамасы болу үшін мұны қалай анықтайды.

ә) Математикалық символиканы меңгерудегі есептердің орны.

Математиканы оқытудың бір мақсаты математиканың тілін, символикасын білу. Жай таңбалар, символдар бастауышта және IV-V сыныпта (амал таңбалары, теңдік, теңсіздік, жақша, бұрын белгісі және оның шамасы, параллелдік т.б.) Үйрететін символдарды дұрыс қолдану үшін есептер шешіледі. Есептердің мағынасы мен шығару жолы жақшаны дұрыс қолдануға үйретеді.

2. Мына есептерде жақша қандай роль атқарып тұр, қандай өрнектерде жақша қандай роль атқарып тұр, қандай өрнектерде жақша амалдардың орындалу ретін өзгертпейді.

(1) (2)

(3) (4)

(5)

3.Амалдардың орындалу ретін түсіндіріңіздер және жақша қандай роль атқарады.

(1)

(2) t=-8, (3) мұндағы .

Символиканы үйренуде басты мәселе есептер шешу барысында оны дұрыс қолдану.

б) Дәлелдеуді оқытуға қажетті есептер.

Математиканы оқытудың маңызды міндеттерінің бірі оқушыларға дәлелдеуді үйрету. Жай есептердің өзі дәлелдеуден басталады. Элементар есептер сұрақтар зерттеуді қажетсінеді. Мұндай есептердің жауабын іздеу олардың шындығын іздеуге келеді.

Есептер мен сұрақтар өзінің шешімін берілгеннен дәлелдеуге тиісті ұғымға логикалық қадам жасап ілгерілеу б.т. Күрделі есептер бірнеше логикалық тізбектен тұрады. Есептер шешудің мақсаты – үйреніп отырған ұғымды нақтылау, соның табиғатын түсіну, оның әртүрлі байланыстарын қарау... есептер мен сұрақтар символика мен математика тілін меңгеру үшін керек. Есептер – сұрақтар.

5. x>y , бұдан міндетті түрде х²>y² бола ма?

6. Екі биссектриса перпендикуляр бола ма? Екі биіктік ше?

Дәлелдеу кезінде есеп желісінен сөзбен символды, олардың бірігуінен тұратын кейбір элементтерді қалдырып кетуге негізделіп құрастырылған жаттығулардың маңызы зор. Осындай жаттығулар тіл сабақтарында көп қолданылады.

7. Тік бұрышты үшбұрышта гипотенузаның ұзындығы оның катетінен ұзын болатынын дәлелдейік.

С – тік бұрышты үшбұрышын қарастырамыз:

C=90⁰, АС және ... – оның катеттері, ... – гипотенуза. С нүктесі ... деп аталады.

В

С А В нүктесі ... жатқандықтан ВС ... СА

Перпендикулярлық теорема бойынша және ... ВС ... АВ.

Дәл осылайша, нүкте ... деп аталады, ... А нүктесінің ВС түзуінің. Демек, ... перпендикуляр .... .

Сондықтан ... < … ( … теореманың негізінде).

4-5 сыныпта математикадан дәлелдеу есептері мүлдем жоқ.

8. а0, в0 болсын. Ал а+в0 дұрыс па?

9. Рационал сандардың көбейту ережесі және оң сандарды көбейтудің ауыстырымдылық заңын қолданып кез келген екі рационал сан үшін осы заңның орындалатынын дәлелдеу керек.

.

4-5 сыныптар алгебрасында теңбе-теңдіктер мен теңсіздіктерді функциялардың қасиеттеріне сүйеніп дәлелдеу есептері өте жиі қолданылады.

10. Егер х²+px+q=(x+x²) теңдігі ақиқат болса, онда p²-4q=0 теңдігі ақиқат екенін дәлелдеңдер. Бұл сөйлемге кері сөйлемді тұжырымдаңдар.

4-5 сыныптар геометриясында дайын сызбаларды қолданып дәлелдеу практикасы бар. Бұл да дәлелдеуді оқытуға аса қажетті.

11. 1) Берілген BDAC, AB=BC. Дәлелдеу керек: AD=DC?

2) Берілгені: BDAC, AD=DC; Дәлелдеу керек: AB=BC?

В

Кейбір геометриялық теңдіктерді

дәлелдеуде ұсынылады. Стереометрияда да

көптеген теңдіктер бар.

А D C

9-11 сыныптарда математиканың барлық тарауларын қарастыратын теңдіктер оқытылады.

12. Рационал сандар арасынан квадраттары

1) 3; 2) 5; 3)6; 4)7; 5)10 сандарына тең болатын сандар болмайтынын дәлелдеңдер.

13. Ғ(х)=cos²x және Ғ(х)=-sin²x функциялары f(х) =-sin2x функциясының алғашқы образы екенін дәлелдеңдер.

Мұндағы Ғ(х)=Ғ(х)+1.

в) Математикалық білік және дағды қалыптастыруға арналған есептер Математикалық жаңа фактілерді үйренуге қажетті идеялар мен методтар жаңа ұғымдармен методтарды ендіруге керекті есептер, проблемалық ситуация туғызуға арналған есептер – оқыту ролін атқарады. Есептер бұл арада күрделі теореманы дәлелдеуге дайындық ролін атқарады.

Квадрат теңдеулерді шешу тәсілдерін үйрену үшін проблемалық жағдай туғызуда есептерді пайдаланады. Мысалы,

14. Теплоход өзен ағысы бойынша 48 км жүрсіп кейін қайтты, бүкіл жолға 5 сағ уақыт жіберді. Өзен ағысының жылдамдығы 4 км/сағ. Теплоходтың меншікті жылдамдығын табыңдар.

Егер теплоходтың меншікті жылдамдығын V км/сағ десек,

5V²-96V-20, V4.

Квадрат теңдеуді шешу тәсілдері осылайша проблемалық жағдайда қарастырылады.

15. алғашқы бағасы 10000 теңге бұйым 4 жыл ішінде әр жылы 5% арзандаған болса, оның бағасы енді қанша болды?

10000( , t=4. A=10000(

1

С

6. Берілгені AB=BC, AM //BN, BM//CN. Д/к. ABM=BCN

Бұл есепті шешу Фалер теоремасын

N

B

A

M

жеңілдетеді.

№ 3 Лекция.

Тақырыбы «Есептерді зертеу пәні ретінде қарастыру және есептер

классификациясы» Жоспар

1. Есептерді шығару.

2. Қарастырылатын объектілеріне байланысты есептер.

3. Теоремаға байланысты есептер түрлері.

4. Талабына қарай есепті бөлу.

Дәстүрлі әдістеме бойынша есептерді әртүрлі топтарға бөледі:

• олардың жалпылау деңгейі бойынша (нақты проблемалық жағдаят саны бойынша);

• ақпараттық ерекшелік толықтық деңгейі бойынша (жабықтығы, ашықтығы);

• шешілу әдісінің белгілі не белгісіз болуы бойынша.

Келесі өте мәнді классификациялау - есептердің стандартты не стандартты еместігі. Стандартты есептер- оларды шығару бағдарламасы бірмәнді анықтайтын жақсы таныс ережелер мен жағдайларға қолдануды және осы бағдарламаны есептеудің әр қадамында орындап талап ететін есептер. Стандартты емес есептер – математика курсында оларды шешудің жалпы ережелероі мен жағдайлары жоқ, белгілеп алатын нақты шарттарға байланысты есептер.

Кейде дәстүрлі жағдайда есептерді алгебралық, геометриялық, тригонометриялық және т.с.с. бөледі. Сонымен бірге, барлық есептер ерекше белгілерімен, есептердің шығарылу талаптары бойынша бөлінеді:

1) белгісізді іздеу есептері;

2) түсіндіруге не дәлелдеуге берілген есептер;

3) түрлендіруге немесе салуға берілген есептер.

Есептерді шешуді үйрету әдістемесін жасай отырып, математиканы оқытудаағы есептердің функциясын білу керек. Кезкелген нақты есеп көптеген әрқрлы фунциялар атқарып тұруы мүмкін, олардың көбі байқалмай жасырын тұрады және олар нақты шарттарға сәйкес пайда болуы мүмкін. Математиканы оқытудың тиімділігі математиканы оқыту практикасында әрбір нақты есептің мүмкін функцияларының қаншалықты толық орындалатына байланысты. Жалпыға белгілі математиканы оқытудың білімділік, тәрбиелік, дамытушылық және олардан маңызы кем емес бақылаушылық функциялары математиканы оқыту мақсаттарына сәйкес болады. Осы функция жеке-дара ерекшеленіп байқалмайды, олар тек өзара байланыста әсер етеді. Сондықтан да, олардың ішінене ерекше бастысын бөліп ала алмайсың.

Осыған байланыстыболашақ мұғалімдерді оқытуда "Есептерді шешудің әдістемелік негіздері" курсының практикалық сабақтарында есептердің келесі функциясын бөліп көрсетеміз:

• білімділік – математикалық білім, білік. Дағды қалыптастырады;

• тәрбиелік – қызығушылық, танымдық ерекшеліктер,тұлғалық сапа қалыптастырады;

• дамытушылық- математикалық ойлау, шығармашылық қабілет дамытады;

• бақылаушылық – мұнда, есеп математикалық ББД нақты бағасы жәнетексерудің жетекші құралы ретінде көрінеді.

Үйретудің үш ұстанымын және оқытудың үш ұстанымын негізге ала отырып, Дж. Пойа қалыптастырғанын пйдалана отырып, төмендегілерді бөліп көрсетеміз:

а) белсенді үйрету және оқыту. Курсты оқыту тиімді болу үшін студенттің өзі белсенді қатысуы керек,тіпті өзбетімен әрбір есепті шешуде , есеп құрастыруда, шарттарын қайта түрлендіруде т.б. есептер шешудің әдістері мен рационалды жолдарын іздестіруде өз үлесін қоса отырып, өзіне батылдық қалыптастырады, ол өзінің ойлау қабілетін дамытады.

б) өте жоғары стимул: оқыту белсенді болу мен қатар студенттерді ынталандыру керек. Ал, ең жақсы стимул – мамандыққа қызығушылық, нақты айқанда математика мұғалімі мамандығына қызығушылық. Қызықты есептер мен оларды шығарудың әртүрлі әдістерін дұрыс таңдағанда ғана студенттердің өз мамандығына қызығушылығын тудыра аламыз. Мұндағы ең негізгі мәселе біздің көзқарасымыз, ол оқытушының және оқытудың стилі.Кез келген адам еліктеу қабілетіне ие. Сондықтан сабақ беретін кез келген мұғалім өз пәнін жақсы біліп қоймай, өз пәнін меңгеру және пәнін оқытуға қызығуы керек.

Сабақ беру - ол өнер. Артист те, ақын да, тіпті суретші де бола білу керек. Сондықтан, есеп емес – әдеби туынды, есеп емес- ертегі . демек курсты оқыту тиімділігі үшін оқушы өтілетін материалға қызығуы керек және есептерді шешу үрдісінде өзіне-өзі қанағаттануға тиіс.Есептер жүйесін таңдауда осған ерекше көңіл бөлу керек. Есептер тек қатал сипатта ғана емес, олардың арасында қалжың есептер, есеп -«парадокс» түрінде болуы мүмкін. Мәселен, стандартты емес есептер арасында оқушыларға "қақталған балық" типті есепті беруге болады: "Арақашықтығы 50 км. болатын екі қаладан А және Б екі жолаушы бір-біріне қарама-қарсы шығады. Біріншісі 4 км/сағ. жылдамдықпен қозғалады, А-мен бір мезгілде Б-ға қарама –қарсы 20 км/час жылдамдықпен шыбын ұшып шығып. Б-ға ұшып барып, кері А-ға қарай қайтып ұшып келеді де, бұрылып Б-ға қарай ұшады. Осылай А мен Б кездескенше ұша береді. Шыбын қандай жол жүрді? /96./ Бірақ, мұндай есептерді қолданған кезде мұқият болу керек, оқушылар есеп берілгенін дұры түсінетінін бақылау керек.

в) үйрету фазаларының тізбектілігі Дж. Пойа атап көрсеткендей "Үйрету әсер ету мен қабылдаудан басталады, одан сөзге және түсінуге өтіп, ойлау қорының жаңаша ерекшелігін қорытындылаумен аяқталуы тиіс. " /96 с. 291/.

Есептер жұмыс жасай отырып, оларды мынадай үш фазаға бөлуге болады ( Дж. Пойа бойынша):

бірінші – зерттеу фазасы – әсеретуге және қабылдауға өте жақынырақ және түйсік немесе эвристикалық деңгейге үйлестіріледі.

екінші – формализациялау фазасы - тер­минология, анықтама мен дәлелдеу жасаумен байланысты, биік деңгейге –түсіну деңгейіне көтеріле алады.

үшінші- меңгеру фазасы – соңғы туындайды; "ішкі негіз" мәселелеріне жету қимылдарына жауап береді; бұл фазада үйретілген материал оқушыларға меңгертілуге тиіс, оның білімдер жүйесіне енуі керек,оның ойлау аумағын кеңейтеді, бұл фаза бір жағынан қосымша білімге және екінші жағынан биікрек деңгейді жалпылауға жол ашады. Есептерді шешу парасаттылықтың ерекшелігі болып табылады, ал парасаттылық- адамның ерекше қасиеті; сондықтан есептерді шығару адамның ойлау қызметінің пайда болу сипаттарының бірі ретінде қарастырылады.

Әр адамның ойлау қызметі тұлғалық, сипаттамалық ерекшеліктерге ие. Математикалық есептерді шешуде ойлау қабілетінің дамуы әртүрлі ойлау дағдыларын қолданғанда: берілген жағдайды талдағанда,берілген және табылған жайттарды салыстыру барысында, осы жағдайлардың жасырын қасиеттері ашуда, қарапайым математикалық моделдер құрастырғандағы ойша эксприментте, пайдалы ақппараттар жинақтау барысында, білімді жүйелеуде, ойды символикалық графиктік бейнелеуде; жалпылау, зерттеу т.с.с. жүзеге асады.

Есеп шығару барсында оқытуды қорытындылау ойлауды, жадыны, дамытады, «жалпылау ассоцациясын» қалыптастырады. Оқушылардың ойлау қызметін белсендіретін есептерді таңдап ала білу керек немесе математикалық ойлаудың дамуы негізінде оқушылардың белсендік дәрежесіне байланысты. Осыған байланысты есептерді төмендегідей түрлерге бөлуге болады:

1) зерттеу элементерімен есептер (геометриялық,теңдеу мен теңсіздіктер,: тригонометриялық, көрсеткіштік, логарифмдік,раметрлы және т.с.с);

2) дәлелдеуге берілген есептер (логикалық ойлау, қалыптасады, есептерді шешудің логикалық схемасы эжасалынады, математикалық фактлер негшізделеді, т.с.с.);

3) өңдеуге арналған есептер (оларды есептеу кезінде жадыға және назар аударуға сүйенеді,: логикалық, пайымдау, пікірдің нақтылығы, математикалық қатаңдық және т.с.с.);

4) қызықты есептер (тапқырлыққа және зеректікке, математиканың тартымдылығын көрсететін, оның логикалық құрылымы мен практикалық қолдануына берілген есептер);

5) бірнеше вариантты жауаптары бар есептер (бір есепті шешудің бірнеше жауаптарын қарастыру ойдың икемділігін: рационалды, қарапайым және тартымды шешу жолдарын таңдап алуға тәрбиелейді );

6) Құрастырылған есептер (өзбетімен жұмыс істеушілікті, шығармашылықпен ойлау белсенділігіне, логикалық құралдар пайдалануға көмектеседі, математикалық объектілар арасында жаңаша байланыстар ашылады: бұл есептерді құру берілген түбірлері бойынша,берілген шешімдері бойынша теңдеулер мен теңсіздіктержәне олардың жүйелерін құру,берілген деңгейлер бойынша есептер құру және т.с.с.)

Оқушыларды болашақ кәсіби маман ретінде дайындауда математикалық есептердің тәрбиелік мәні ерекше. Есеп шығару барысында оқушыларда зейін және табандылық, жігерлілік және қажырлылық қалыптасады және дамиды. Есептерді шешудің рационалды жолын іздеу ұқыптылыққа және қысқаша жазу, сызуларды сызуға үйретеді. Математикалық есептерді шешу математикалық ойлаудың: талқылаудың формалды-логикалық схемасын сақтау («талдау-салу, зерттеу-дәлелдеу; қысқаша ойлау, ойлаудың анық жолдарын есептеу; математикалық символикаларды нақты пайдалану сияқты ерекше стилдерін тәрбиелейді. Политехникалық тәрбие беруде есептер үлкен роль атқарады. Қазіргі таңда, мектептерде бейіндік даралап оқыту іске асырылып жатқан кезде студенттерге қолданбалы есептерді шеше білуді меңгерту өте маңызды. Сонымен қатар, есептің бақылаушылық мәнінің де маңызы аз емес.

Бақылау-ол математикалық есептердің дидактикалық мақсаттарының бірі. Практикалық әрбір есептің аралық, өзіндік, семестрлік , қорытынды бақылауда өзіндік орны бар және білімдеріндегі қиыншылыктар мен кемшіліктердің, жаңа теориялық білімдердің, үйренген есептерді шешу әдістерін меңгерілуінің, игерілген білік пен дағдылардың икемділігі мен беріктігінің дәрежесін анықтауға арналады.

Бақылауға арналған есептерді шығару барысында оқушылар негізгі формулалар, теоремалар мен ережелерден білімін, қолданбалы сипаттағы есептердің математикалық моделін құру білігін, оқу және практикалық қызметтерінде білімін шығармашылықпен қолдана білу білігін; есеп шығару барысында әртүрлі түрлендірулер жасай білу білігін; логикалық ойлау білігін; математикалық тапсырмаларды дәлелдеу мен есептерді шешудің әдіс пен тәсілдерінен білімін; сызбалар мен жазбаларды ұқыпты орындау білігін; өзінің ойын әдістемелік сауатты жеткізе білу білігін;- шешуді «айта білу»; талқылау барсысына түсініктеме беру; жұмыста шығармашылық таныта білу білігін көрсетуі керек.

Математикалық есептердің бақылаушылық функциясын жүзеге асыруда өзін-өзі бағалау мен өзін-өзі бақылауды қолдана отырып, бағалау қызметіне оқушылардың көңілін аударамыз. Оқушылардың белсенділігі олардың белгілі бір дағдылар мен біліктілікті меңгеру деңгейіне ғана емес, тұлғалық қасиеттерді көрсетуде білім алу іштей эмоциялық бағыттауға әсер ететін математиканы іштей қажетсінуіне қызығушылығына да байланысты. Егер оқушылардың білімін бағалағанда мұғалімнің бағасы мен оқушының өзін-өзі іштей бағалауымен сәйкес болмаса, ол оқушы белсенділігінің төмендеуіне әкеп соғады, яғни бағаны ретсіз жоғары қою мұғалімнің беделін төмендетеді, ал төмен қойылған баға оқушының өзіне-өзінің сенімділігін жояды, кейде тіпті жанжалға дейін барады.

Осыған байланысты, оқу материалын меңгерту сапасын арттыруда кейбір жағдайларды белсенді қолданып жүзеге асыра отрырып, төмендегі шарттарға назар аударамыз:

1. теориялық материалдардың мәнін түсінуі (мағанасын мен теорияның құрылымын), теоремаларды дәлелдеу әдістерінен білімі және т.с.с.);

2. материалды практикалық қолдану дағдысы мен білімі;

3. теорияның мәнін ашатын нақты мысалдар келтіре алу білігіне;

4. теоремаларды дәлелдеу мен стандартты емес есептерді шығару кезінде шығармашылық таныта білуіне;

5. есептерді шешуде нақты және дәл әдістерді табуы мен есептеу нәтежесін тексеруді қолдану білігіне;

6. шығарылған есептің әдістемелік жағын бөліп көрсетуге;

7. жалпылай мен қорытынды жасай білуіне;

№ 4-5 Лекция.

Тақырыбы : Математиканы есептер арқылы оқыту. Математиканы оқытудағы есептерді шешуді ұйымдастыру

Жоспар:

1. Математиканы есептер арқылы оқыту

2. Алға қойған дидактикалық мақсаттарына қарай есептерді топтау.

3. Математика есептерін шешуді ұйымдастыру.

4. Есеп шығару процесінің логикалық байланыс

1. Математиканы есептер арқылы оқыту.

Математика сабақтарына жұмсалатын уақыттың көбі есептер шешуге, жаттығулар орындауға жұмсалады. Сонымен, математиканы оқыту есептер шешу арқылы іске асады. Математикалық есептерді шешу арқылы оқушылар көптеген математикалық ұғымдарды меңгереді, математикалық символдарды біледі, дәлелдеу жолын үйренеді.

Есептер шешуді үйрену үшін оларды шешу туралы тәжірибе жинақтау керек. Есептер шешу дағдысын өзбетімен қалыптастыратын оқушылар өте сирек кездеседі. Есептер шешу дағдысына оқушыларды үйрету мұғалімнің міндеті. Егер мұғалім үйренуге тиістінің бәрін өз міндетіне алып, оқушыға өте көп көмектессе, оқушыны ойландыратын ешнәрсе қалмаса (яғни оқушы ойланып тәжірибе жинақтауға қажетті өте аз материал қалса), онда оқушы есеп шығаруды үйренбейді. Егер мұғалімнің есеп шығарушыға көмегі өте аз болса да ол жағдайда оқушы есеп шығаруды үйрене алмайды. Мұғалім оқушыға есепті қалай шығару жөнінде ақыл-кеңес беріп көмектесуі немесе оқушы есепті дұрыс шығара алатындай болуы үшін олардың сұрақтарына жауап беруі керек. Кейде мұғалім есеп шығару үшін өзі сұрақ қойып, оған өзі жауап береді. Біріншіден оқушылар бұған еліктейді, есеп шығара бастайды. Оқытудың мұндай түрі көп уақыт жұмсауды қажетсінеді, әрқашан табысқа жете бермейді.

Бұл арада оқушының ойын тудыратын, ойлау қызметін дамытатындай шығармашылық тәсіл керек.

Мұндай ақыл-кеңестер әртүрлі есептер шешуге жарайтын жалпылық қасиеті болуы керек. «Есептер шешу дегеніміз практикадан қалыптасатын өнер», дейді Д.Пойа.

Оқушыларға айтылатын ақыл кеңестер мен сұрақтарды шартты түрде 4 топқа бөлуге болады. Бұл топтар бір-бірімен қатаң бөлінбеген, есептер шешу кезінде бұлардың арасында белгілі байланыс болады.

• Есептің мазмұнын меңгеру үшін қойылатын сұрақтар мен ақыл кеңестер (1-этап).Есептің берілгендері қандай, нелер ізделеді, немен қорытындыланады – бұларды білмей тұрып есеп шешуге кіріспейді.«Есепті шешуге асықпаңыз» - бұл есеп шешуге дайындық жасау керек деген сөз, бұл

а) есеппен таныс, мазмұнын оқы, есептегі жалпы жағдайды еске сақта;

б) берілгендер мен есептің сұрайтынын біліңдер. Дәлелдеу есебінде алғашқы шарт (қолайлы жағдаймен) пен қорытындыны бөл.

Мысалы, ұзындықтары а,в болатын тік бүрышты үшбұрыш үшін гипотенузаның формуласын қорытыңдар.

Берілгендері үшбұрыш, оның а,в катеттері, сұрайтыны оның гипотенузасын табатын формула болып табылады.

в) Егер есеп геометриялық есеп болса, онда оның сызбасын сал, сызбада берілгендер мен ізделетін шамаларды белгіле.

г) Есеп шартында белгілеулер жоқ болса, оған қолайлы белгілеулер ендір. Мысалы, үшбұрыш а,в,с. R, а+в-с=2r.

д) Есептің мазмұнын түсіне бастаған кезде «Есептің шартын қанағаттандыра ма?» деген сұраққа жауап беру қолайлы. Есептің мағынасы бола ма, қандай жай түрлендіруден соң ең жеңіл түрге келе ме?

• Есепті шешу жоспарын құру (2-этап).

Есепті шешу жолдарын құру – есеп шешудегі ең негізгі қадам. Дұрыс құрылған жоспар есептің дұрыс шешіміне кепілдік береді. Жоспар құру күрделі және ұзақ үрдіс болуы мүмкін. Соның оның шешімін табатындай «жаңашыл» меңгерту керек.

а) Осы есепке ұқсас есеп сізге белгілі ме? Осы есепке мағынасы жөнінен жақын есеп сізге таныс па? Егер бұл есептер сізге бұрыннан таныс болса, онда жоспар құру қиынға соқпайды. Мысалы, шар радиусын оны іштей сызылған тік параллелепипедтің диагоналы арқылы өрнекте деген есепке ұқсас, шеңбер радиусын оған іштей сызылған төртбұрыш диаметрімен өрнекте десек, бұлар туыстас. Бұл әрқашан табыла бермейді.

б) шешуге тиісті есепке келтірілетін есеп құрастыр – сіз бұған бұрын жоспар құрғансыз.

в) шешуге тиісті есепке мағыналас есеп сізге белгісіз, ендеше жоспар бірден құрылмайды. «есепті басқаша тұжырымдаңыз», мұның математикалық мазмұны өзгермейтін болсын.

Мысалы, n үшін n²-n өрнегінің мәні жұп екенін дәлелдеңдер. Мұны басқаша тұжырымдалық: «Өрнекті көбейткіштерге жіктеңдер, ең болмағанда бір көбейткіш 2-ге бөлінетін болсын». Бұған математикалық ұғым не бөлінгіштік белгі қолданылады. Есеп мазмұнын математикаландыру – теңдеулер құруда көп қолданылады.

г) Есепті шешу жоспарын құру барысында есеп шешуші – «Есептің берілгендері түгел қолданылды ма?» деген сұрақ қояды.

д) есепті шешу жоспарын құру барысында «Есептің берілгендерін немесе есептің сұрайтынын түрлендіріп көріңіз». Ізделіндімен берілгендерді түрлендіру жоспарды тезірек құруға көмектеседі. Ізделіндіні түрлендіріп берілгенге жақындатады және керісінше әр нақты жағдайда берілгендерді теңбе-тең түрлендіріп біртіндеп нәтижеге ізделіндіге жақындаймыз. Теңдеу, теңсіздік, не олардың жүйесінің шешімін табу үшін - өзімен мәндес теңдеулер мен теңсіздіктер арқылы түрленеді.

е) Жоғарыда айтылғандардың бәрін қолданғанда есеп жоспары құрылмайтын жағдайлар жиі кездеседі, онда «Есептің белгілі бір бөлігін шығарып көріңіз» яғни, есептің шартының белгілі бөлігін қанағаттандыратын одан әрі қалған шартты қанағаттандыратын тәсіл іздеңіз.

4-мысал. Берілген үшбұрышқа іштей квадрат салу керек. Квадраттың екі төбесі бір-бірден үшбұрыштың екі қабырғасының бойында, ал қалған екі төбесі 3-қабырғаның бойында жатуы керек.

Ең алдымен есеп шартының бір бөлігін қанағаттандырып көрелік. Үшбұрыш ішіне квадрат саламыз. Квадраттың екі төбесі үшбұрыштың бір қабырғасының бойында, ал үшіншісі – басқа қабырғаның бойында жататын болсын.

М ұндай квадратты өте көп етіп сызуға болады. Барлық квадраттар А төбесіне (центріне) гомотетиялы болады.

Демек, төртінші төбе А нүктесінен және салынған квадраттың төбесінен өтетін түзу және ВС бойында жатуы керек. Есептің жоспары белгілі.

Ақыл-кеңес. «Есептің бір бөлігін шешіп көріңіз» бұдан әрі кеңесімізді кеңейтсек: «Есепті барынша жай есептерге ұсақтаңдар». Мәселе есепті шешудің әр қадамы – арифметикалық тәсілмен шешіледі – ұсақ бөліктерден тұрады. Кейбір геометриялық есептерге теңдеулер жүйесі құрылады.

ж) кейде жоспар құруға «Қандай дербес жағдай үшін осы есепті тез шешуге болады» деген сұрақ көмектеседі. Дербес жағдайдың нәтижесі күрделі жағдайға қолданылады. Біртіндеп жалпылап есепті шешеді. Бұлайша пайымдау – толық индукция әдісі болады.

5

В

В

-мысал. Дұрыс үшбұрыштың ішінен алынған кез келген М нүктесінен оның қабырғаларына дейінгі қашықтықтардың қосындысы тұрақты шама болатынын дәлелдеңдер.

Суретте индукция бойынша ойлау схемасы көрсетілген. М үшбұрыштың төбесінде болғанда М-нен екі қабырғасының қашықтығы 0-ге тең. Жалпы жағдайдың бірі – М нүктесінің бір қабырғаның бойында жатуы. MN//АС жүргіземіз. MNB қосымша тең қабырғалы үшбұрыш аламыз, мұндағы М – төбесі. Соңғы жағдай – М нүктесі АВС-нің  ішкі нүктесі. А^/С^///АС жүргізсек, онда есеп алдыңғы жағдайға келеді.

• Есепті шешу жоспарын іске асыру жоспар – есеп шешімінің жалпы түйінін ашып көрсетеді. Есеп шешімінің жоспарын іске асыруда есептің түйінін сипаттап жазатын барлық ұсақ-түйектерді қарастырылады.

а) әрбір қадамыңызды тексеріңіз әр қадамның дұрыстығын бұған дейін белгілі математикалық фактілер мен сөйлемдерге сүйеніп тексеру керек.

б) Жоспарды іске асыруда терминдер мен символдарды олардың анықтамаларымен ауыстыр деген ақыл-кеңес пайдалы.

Мысалы, «Параллелограмм» өзінің «қарама-қарсы қабырғалар қос-қостан» деген анықтамамен ауысады.

в) Объектілер жағдайында берілгендердің қасиетін пайдаланыңдар.

Мысалы: Параллелограммда қарама-қарсы бұрыштары тең болатынын дәлелдеңдер.

Шешу кезінде параллелограмның қарама-қарсы қабырғаларының параллельдігі мен теңдігі қолданылады.

• Есеп шешімінің дұрыстығын талдау және тексеру.

Есепті жақсы шығаратын оқушының өзі есептің шешу жолын мұқият жазып, «есеп толық шықты» деп есептейді. Мұның дұрыстығы әлі тексерілген жоқ, барынша тиімді вариент таңдап алынған жоқ.

Б.М. Бродис 1) қатесіз, 2) негізделген, 3) аяғына дейін толық шығарылған есеп қана шығарылған есеп болып табылады. Сондықтан есепті талдау, шешімді тексеру нәтижесінің дұрыстығы – есеп шешудің кезеңі болуы керек.

Сонымен «Нәтижесін тексер», «Шешу жолын тексер».

«Осы нәтижені басқаша жолмен алуға бола ма?»

«Есепті басқа тәсілмен шешіңдер».

Бір есепті әртүрлі тәсілмен шешіп тек бір нәтиже алудың зор мәні бар.

Бұл ақыл-кеңестің көпшілігін Д. Пойа тұжырымдады. Бұл ақыл-кеңестер оның шешімін дұрыс іздеуге уақыттан ұтуға, есеп шешудің дұрыс және тиімді тәсілін іздеу ықтималдығы молайады. Математиканы есептер шешу арқылы үйрете отырып мұғалім алдына көптеген дидактикалық талаптарды қояды.