29. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Эйлера – Коши. Метод Эйлера-Коши

Одной из модификаций метода Эйлера является метод Эйлера-Коши (или модифицированный метод Эйлера).

В этом методе в качестве искомого направления берется средний тангенс угла наклона касательной для двух точек: (x_i , y_i) и (x_i+h, y_i+hy_i′).

Последняя точка была искомой в методе Эйлера и обозначалась как (x_i+1 , y_i+1), теперь же эта точка рассматривается как вспомогательная.

Метод Эйлера-Коши рекомендует следующий порядок вычислений:

k₁=hf(x_i , y_i)

k₂=hf(x_i+h, y_i+k₁)

y_i+1=y_i+(k₁+k₂)/2

Геометрически процесс нахождения точки (x_i+1 , y_i+1) можно проследить на рис. 3.

Рис. 3. Метод Эйлера-Коши.

Из точки (x_i, y_i) проводим касательную L₁ с тангенсом угла наклона

k₁=hy_i′=hf(x_i , y_i).

Пересечение прямой L₁ с ординатой, проведенной из точки x=x_i+1, дает точку (x_i+1 , y_i+k₁).

Напоминаем, что в методе Эйлера эта точка рассматривалась как искомая, здесь же — как промежуточная. В этой точке снова вычисляем тангенс угла наклона k₂=hf(x_i+h, y_i+k₁) и из нее проводим касательную L₂ в этом направлении.

Усреднение двух тангенсов (k₁+k₂)/2 определяет касательную L*, проведенную из точки (x_i+h, y_i+k₁).

Наконец, через точку (x_i, y_i) проводим прямую L, параллельную L*.

Точка, в которой прямая L пересечет ординату, восстановленную из x=x_i+h=x_i+1, и будет искомой точкой (x_i+1, y_i+1).

Метод Эйлера-Коши согласуется с разложением в ряд Тейлора вплоть до членов степени h² и является, таким образом, методом второго порядка.

При использовании этого метода функцию f(x, y) необходимо вычислять дважды — в точках (x_i , y_i) и (x_i+h, y_i+hy_i′).

Погрешность метода Эйлера-Коши порядка h³.

30. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Неявный метод Эйлера – Коши

Если на правой границе интервала использовать точное значение производной к решению (т.е. тангенса угла наклона касательной), то получается неявный метод Эйлера-Коши (метод трапеций) второго порядка точности.

x_{k +1} = x_k + h

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Первый улучшенный метод Эйлера.

Первый улучшенный метод Эйлера

Данный метод использует расчет приближенного значения производной от решения в точке на середине расчетного интервала. Значение производной в середине получают применением явного метода Эйлера на половинном шаге по х.

yk +1/ 2 = yk +		h	f (xk , yk )
	2
yk +1	= yk + hf (xk +1/ 2 , yk +1 / 2 )			(4.7)
xk +1	= xk + h
xk +1 / 2 = xk + h / 2

Данная модификация метода Эйлера имеет второй порядок точности.

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Рунге-Кутты.

Все рассмотренные выше явные методы являются вариантами методов Рунге-Кутт

Семейство явных методов Рунге-Кутты р-го порядка записывается в виде совокупности

формул:

^yk +1 ^{= y}k ^{+ y}k

y_k= ∑^p c_i K_i^k i=1

i−1

K_i^k = hf (x_k + a_i h, y_k + h∑b_ij K ^k_j )

j=1i = 2,3..... p

Параметры a_i , b_ij , c_i подбираются так, чтобы значение соотношению (4.8) совпадало со значением разложения в точке

ряд Тейлора с погрешностью O(h ^p+1 )

Метод Рунге-Кутты третьего порядка точности
Один										из									методов												Рунге-Кутты																				третьего							порядка
( p = 3, a = 0, a				2	=				1	, a	3	=						2	, b		=		1		, b		= 0, b			=			2		, c			=		1		, c		2			= 0, c	3			=		3		) имеет вид:
1					3													3	21		3				31		32			3					1			4													4
yk +1 = yk +			yk
yk =	1	(K1k + 3K3k )																																																							(4.9)
4
K1k = hf (xk , yk )
K2k = hf (xk			+		1			h, yk +					1					K1k )
					3							3
K3k = hf (xk			+		2			h, yk +						2			K 2k )
					3							3

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Рунге-Кутты третьего порядка точности

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Рунге-Кутты четвертого порядка точности

(4.8)

y_{k +1} , рассчитанное по x_{k +1} точного решения в

Элементы линейного программирования.

Определение 1. Линейное программирование – наука о методах исследования и отыскания экстремальных значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения. Эта линейная функция называется целевой, а ограничения, которые математически записываются в виде уравнений или неравенств, называются системой ограниченийОпределение 2. Математическое выражение целевой функции и системы ограничений называется математической моделью экономической задачи.Определение 3. Допустимым решением задачи линейного программирования называется вектор  , удовлетворяющий системе ограничений.Определение 4. Допустимое решение, при котором целевая функция достигает своего экстремального значения, называется оптимальным решением задачи линейного программирования и обозначается  . Определение 5. Если все ограничения системы заданы уравнениями и переменные   неотрицательные, то такая модель задачи называется канонической. Если хотя бы одно ограничение является неравенством, то модель задачи ЛП является неканонической.