2.2. Нормальний закон розподілу

Нормальний закон розподілу задається щільністю

. (2.6)

Параметри і , які входять до виразу щільності розподілу, є відповідно математичним сподіванням та середнім квадратичним відхиленням випадкової величини.

Імовірність того, що нормально розподілена випадкова величина набуде якого-небудь значення з інтервалу , обчислюється за формулою:

. (2.7)

Імовірність того, що відхилення нормально розподіленої випадкової величини від математичного сподівання не перевищить за абсолютною величиною , обчислюється за формулою:

. (2.8)

3. Елементи математичної статистики

3.1. Первинна обробка і графічне подання вибіркових даних. Числові характеристики вибіркової сукупності

Генеральною сукупністю називається множина однотипних об’єктів, кількісна чи якісна ознака яких підлягає вивченню. Підмножина об’єктів, дібраних відповідним способом із генеральної сукупності, називається вибірковою сукупністю.

Нехай із генеральної сукупності отримано вибірку, причому значення спостерігалося разів, – разів і т. д., – обсяг вибірки. Значення, що спостерігаються, називаються варіантами, а послідовність варіант, записаних у порядку зростання, – варіаційним рядом. Кількість спостережень називається частотами, а їх відношення до обсягу вибірки – відносними частотами.

Статистичним розподілом вибірки називається перелік варіант і відповідних їм частот або відносних частот. Також можна задати його у вигляді послідовності інтервалів і відповідних їм частот.

Емпіричною функцією розподілу називають функцію , що визначає для кожного значення відносну частоту події :

,

де – кількість спостережень, при яких спостерігалося значення ознаки, менше за ; – обсяг вибірки.

Функцію розподілу генеральної сукупності називають теоретичною функцією розподілу. Для наочності будують різні графіки статистичного розподілу.

Полігоном частот називають ламану, відрізки якої з’єднують точки . Аналогічно будують полігон відносних частот.

У випадку неперервної ознаки доцільно будувати гістограму. Гістограмою частот називають фігуру, що складається з прямокутників, основами яких є часткові інтервали довжиною , а висоти рівні відношенню (щільність частоти). Площа гістограми частот дорівнює обсягу вибірки.

Нехай – дані спостережень за випадковою величиною Х.

Вибіркова середня обчислюється за формулами:

а) якщо дані не згруповані, то ;

б) якщо дані згруповані, то .

Вибіркова дисперсія обчислюється за формулами:

а) якщо дані не згруповані, то ;

б) якщо дані згруповані, то .

3.2. Елементи теорії кореляції

Якщо розглядаються дві випадкові величини, то між ними можуть бути такі форми залежності:

а) функціональна;

б) стохастична, коли зі зміною значення однієї величини змінюється розподіл другої величини;

в) кореляційна, коли умовне середнє значення однієї величини функціонально залежить від другої величини.

Нехай результати вибірки із двовимірної сукупності подано в табличній формі:

y x	y1	y2	...	yk
x1			...
x2			...
. . .	. . .	. . .		. . .	. . .
			...
			...		n

, ,

,

, .

Якщо кореляційна залежність лінійна, то рівняння регресії має вигляд

, (3.1)

, (3.2)

де _y/x – коефіцієнт регресії y на x, _x/y – коефіцієнт регресії x на y,

, (3.3)

. (3.4)

Рівняння (3.1) і (3.2) можна привести до вигляду

, (3.5)

, (3.6)

де r_в – вибірковий коефіцієнт кореляції

, , .

Якщо значення ознак x і y рівновіддалені з кроком і , то при знаходженні рівнянь регресії можна використовувати умовні варіанти:

, ,

де – “умовні нулі”. При цьому мають місце формули:

; ;

; ;

.