КОЛЕДЖ

КЛАСИЧНИЙ ПРИВАТНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ

ТА МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА

Методичні матеріали та вказівки

до виконання контрольних робіт

для студентів заочної форми навчання

Енергодар

2012

ЗМІСТ

1.1. Основні поняття. Визначення ймовірності 4

1.2. Елементи комбінаторики 4

1.3. Теореми додавання та множення ймовірностей 5

1.4. Формула повної ймовірності і формула Байєса 6

1.5. Схема випробувань із повтореннями 6

2.1. Закони розподілу і числові характеристики 8

випадкових величин 8

2.2. Нормальний закон розподілу 10

3.1. Первинна обробка і графічне подання вибіркових даних. Числові характеристики вибіркової сукупності 11

3.2. Елементи теорії кореляції 12

4. ЗАВДАННЯ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ 14

5. ЗРАЗОК РОЗВ’ЯЗАННЯ НУЛЬОВОГО ВАРІАНТА 21

Таблиця значень функції 34

Критичні точки розподілу 36

6. ПЕРЕЛІК ПИТАНЬ З ДИСЦИПЛІНИ 46

ЛІТЕРАТУРА 49

ДОДАТКИ 50

ВСТУП

Теорія ймовірностей і математична статистика – одна з важливих математичних дисциплін, які вивчають студенти заочної форми навчання. У процесі вивчення дисципліни розглядаються закономірності розвитку окремого випадкового явища та масових випадкових явищ, прогнозування їх характеристик, кількісні та якісні методи аналізу цих закономірностей.

Основною формою навчання студента-заочника є самостійна робота над навчальним матеріалом, що включає читання підручників, розв’язання задач, виконання контрольних завдань. Пропонований посібник охоплює теми усіх практичних занять, передбачених навчальним планом.

Контрольна робота має складатися з таких частин:

1. титульного аркуша;

2. основної частини, що включає умову задачі та її розв’язок (докладно викладений, із відповідними посиланнями на теоретичні питання й вказівками необхідних формул).

Під час екзаменаційної сесії студент повинен пройти співбесіду по зарахованій контрольній роботі. Студент виконує той варіант контрольної роботи, номер якого збігається з номером його прізвища у списку в журналі академічної групи.

До заліку (іспиту) з дисципліни допускаються студенти, що виконали контрольну роботу в повному обсязі.

1. Випадкові події

1.1. Основні поняття. Визначення ймовірності

Випробування – реальний або уявний експеримент (виконуваний за певної незмінної сукупності умов), за результатами якого спостерігають.

Подія – результат випробування.

Деяка подія, що неодмінно відбудеться в результаті випробування називається достовірною. Подія, яка в даному випробуванні не може відбутись, називається неможливою.

Подія називається випадковою, якщо вона може відбутися або не відбутися. Події позначаються літерами .

Подія, що знаходиться поза настанням події , називається протилежною і позначається як .

Імовірністю випадкової події називається об'єктивна числова міра появи цієї події. Імовірність випадкової події дорівнює відношенню кількості сприятливих випадків до кількості усіх можливих взаємовиключальних і рівноможливих випадків випробування й обчислюється за формулою:

(1.1)

Властивості ймовірності:

1) імовірність достовірної події дорівнює 1;

2) імовірність неможливої події дорівнює 0;

3) імовірність випадкової події є додатним числом, що міститься між 0 та 1.

Статистичною ймовірністю події називається відношення кількості випробувань, у яких подія відбулась, до загальної кількості виконаних випробувань :

. (1.2)

1.2. Елементи комбінаторики

Перестановками називаються комбінації, що складаються з одних і тих самих елементів і відрізняються тільки порядком їх розташування. Кількість усіх можливих перестановок

. (1.3)

Розміщеннями називають комбінації, що складаються з різних елементів по елементів, які відрізняються або їх складом, або порядком. Кількість усіх можливих розміщень

. (1.4)

Сполученнями називають комбінації, складені з різних елементів по елементів, що відрізняються хоча б одним елементом. Кількість усіх можливих сполучень

. (1.5)

1.3. Теореми додавання та множення ймовірностей

Теореми додавання ймовірностей. Нехай подія є сумою двох подій і . Тоді:

а) якщо події і несумісні, то ;

б) якщо події і сумісні, то .

Події і називаються залежними, якщо ймовірність однієї з них змінюється залежно від того, відбулась друга подія чи ні. У іншому разі події називаються незалежними. Імовірність події , визначена за умови, що подія відбулася, називається умовною і позначається .

Теореми множення ймовірностей. Нехай подія є добутком двох подій і . Тоді:

а) якщо події і незалежні, то ;

б) якщо події і залежні, то .

Імовірність настання принаймні однієї події. Нехай у результаті випробування можуть відбутися подій . Потрібно знайти ймовірність того, що відбудеться принаймні одна з них. Позначимо цю подію літерою . Тоді протилежною буде подія , яка полягає в тому, що в результаті випробування одночасно настали протилежні події .

Тоді ймовірність події дорівнює .

1.4. Формула повної ймовірності і формула Байєса

Нехай подія може відбутися тільки за умови настання однієї із несумісних подій ( ), які утворюють повну групу. Відомі ймовірності подій та умовні ймовірності того, що подія відбудеться. Тоді ймовірність події подається формулою:

. (1.6)

Наведена залежність називається формулою повної ймовірності.

Знову розглянемо події ( ), які утворюють повну групу подій і попарно несумісні. Ці події називатимемо гіпотезами. Подія може відбутися одночасно з деякою із подій . Відомо, що в результаті випробування подія відбулась. Потрібно з огляду на це переоцінити ймовірності гіпотез . Для цього застосовують формулу Байєса:

, ( ). (1.7)