П.8.1. Однородные уравнения и метод Эйлера

Обозначим - характеристический полином

Лемма1. Если

Доказательство. Подставить в

Следствие. Функция является решением однородных уравнений является корнем характеристического полинома

Теорема1. Если простые вещественные корни характеристического полинома, то - ФСР линейного однородного уравнения

Доказательство.

=

= - ЛНЗ => это ФСР

Теорема2. Если простые комплексные корни характеристического полинома, то в ФСР

Доказательство. Лемма1 и следствие верны в случае комплексных корней указанные функции являются решениями однородного уравнения. Докажем их независимость: предположим, что остальные корни - вещественные и простые. Запишем определитель Вронского

действия:

1. К первому столбцу добавим второй, умноженный на i . (1)+(2)i

2. (2)*(-2i)

3.(2)+(1)

учтем, что получим тот же определитель, что в Т1 с разницей, что

, Определитель ≠0. Линейная независимость доказана.

Замечание. Если полином имеем корень кратности , то

Лемма2.

Доказательство. Запишем тождество из и продифференцируем его n-раз по . Можно воспользоваться формулой Лейбница:

Теорема3. Если ₁ - корень характеристического полинома кратности S_1, то в ФСР однородного уравнения содержатся функции

,

Доказательство. Из Леммы2 следует, что эти функции будут их решениями. Докажем их независимость. Вычислим w(x) в точке 0

т.е. эти функции могут входить в ФСР.

Следствие. Если корни характеристического полинома кратности S,то в ФСР содержатся функции

Доказательство. Основано на том, что действительная и мнимая части комплексного решения линейного однородного уравнения также является его решениями

П.8.2. Неоднородные уравнения. Мнк

Общее решение неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами всегда можно найти в квадратурах методом вариации произведения постоянных. В некоторых случаях частное решение неоднородного уравнения могут быть найдены методом неопределенных коэффициентов.

Теорема1. Если имеет вид: где α-некоторое число, - полином степени n, то неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами имеет частное решение вида: , где S-целое число, -полином степени n, причем, если α-корень характеристического полинома, то S-его кратность, иначе s=0

Доказательство. Пусть есть полином

.

Пусть . Покажем как можно найти коэффициенты полинома . Рассмотрим случай, когда n=0 и подставим

при :

при :

.

.

.

при :

Получилось система линейных алгебраических уравнений (ЛАУ)

det

При s рассуждения те же

Теорема2. Если правая часть уравнения имеет вид , то неоднородное уравнение имеет частное решение вида , s – кратность корня характеристического уравнения.

Доказательство. По той же схеме.

Если правая часть уравнения имеет сложный вид, то имеет смысл разложить ее на отдельные слагаемые 1-го и 2-го типа и искать частные решения для любого слагаемого, а затем сложить все частные решения.

9 Нормальные системы с постоянными коэффициентами. П.9.1. Метод Эйлера.

Лемма1. Вектор-функция является решением дифференциального уравнения собственное решение матрицы А, - соответствующий этому значению собственный вектор.

Доказательство. Подставим в систему уравнений и получим, что .

Теорема1. Если - постоянные собственные значения матрицы А и - соответствующие им собственный векторы, то вектор-функции образуют ФСР системы дифференциальных уравнений .

Доказательство. По лемме1 каждый из этих вектор-функций – решение системы дифференциальных уравнений. Рассмотрим определитель Вронского в точке

. Его столбцы – векторы – линейно независимо, т.к. являются собственными векторами различных собственных решений, поэтому .

Следствие теоремы1. Если среди простых собственных значений матрицы А есть два комплексно сопряженных, то в ФСР две вектор-функции вида где – некоторые постоянные векторы.

Доказательство. Комплексно сопряженным собственным значениям соответствуют комплексно- сопряженные собственные векторы

Решениями линейной однородной системы ДУ будут вещественные и мнимые части комплекснозначных вектор-функций:

Теорема2. Пусть – собственное значение матрицы А кратности s, – собственный вектор и присоединенные векторы, соответствующие этому собственному значению, тогда в ФСР линейно однородной системы ду с матрицей коэффициентов А содержится функция

…

Доказательство. По определению собственного вектора и присоединенных векторов. Присоединенные собственные векторы ищутся следующим образом: h

…

Тогда Решения линейно независимы, т.к. .

Следствие. Если значение матрицы А кратности s, то ему соответствует слагаемое вида: , где – вектор-функция, компоненты которой являются полиномами степени не выше, чем s-1, причем среди всех коэффициентов этих полиномов ровно s являются произв-и.

Если собственное значение кратное, то соответствующая ему часть общего решения можно найти, используя МНК.