П.6.3. Метод вариации произвольных постоянных.

Пусть на [a;b] матрица A(x) и вектор f(x) непрерывны. Если известна фундаментальная система решений однородной системы (2), то решение системы (1) может быть найдено в квадратурах.

Доказательство. ФСР(2). Составим из этих векторов как из столбцов матрицу. Она будет являться решением

Общее решение системы (2) [ ] можно записать в виде – произвольный постоянный вектор (ППВ).

Будем искать решение (1) в виде – искомая функция.

Подставим в (1), получим .

.

, - ППВ.

– решение системы (1) в квадратурах.

На практике вектор С(х) ищется из системы:

g(x)

§ 7. Линейные дифференциальные уравнения порядка n.

.

L[y] – линейный дифференциальный оператор порядка n.

L[y] = [1] - неоднородное.

L[y] = 0. [2] – однородное.

П.7.1. Свойства решений лду порядка n.

1)Линейная комбинация решений уравнения [2] является решением уравнения [2].

Доказательство.

– решение [2].

2)Разность решений уравнения [1] является решение уравнения [2].

3)Сумма решений уравнения [1] и уравнения [2] является решением уравнения [1].

4)Если – решения уравнения [1] с правыми частями , то – решение уравнения [1] с правой частью

5)Если коэффициенты и правая часть уравнения [1] непрерывны на [a;b], то любое решение уравнения [1] удовлетворяет неравенству:

.

6)Если коэффициенты уравнения непрерывны на , то уравнение [1] может иметь лишь одно решение, удовлетворяющее условию Коши.

Условие Коши ставится как:

Два способа доказательства: 1) 5-е свойство; 2)Через обозначения z, использовать свойство 6 для нормальных систем.

7) Решение уравнения [2]с непрерывными коэффициентами тождественно равно нулю, если оно и все его производные, до порядка (n-1) включительно, равны нулю одновременно хотя бы в одной точке.

П.7.2. Фундаментальная система решений.

Функции называют линейно независимыми на [a;b], если для линейно независимы вектора функции:

Определение. ФСР-ом однородного линейного уравнения порядка n называют n его линейно-незасимых решений.

Определитель Вронского для системы решений линейного уравнения:

Теорема1. Функции называют линейно независимыми на отрезке их определитель Вронского 0 во всех точках отрезка.

Доказательство. Такое же.

Теорема2. Система решений уравнения [2] фундаментальна на отрезке, если хотя бы в одной точке этого отрезка их определитель Вронского 0.

Теорема3. Если – ФСР уравнения (2),

. - произвольные постоянные

Следствие. Если – ФСР уравнения (2), – частное решение уравнения [1], то общее решение уравнения [1] есть

П.7.3.Метод вариации произвольных постоянных.

Теорема. Пусть на коэффициент и правая часть уравнения (1) непрерывны. Если известна ФСР (2), то решение (1) может быть найдено в квадратурах.

Доказательство. Можно воспользоваться эквивалентностью линейного уравнения и нормальной системы. Сразу искать решение неоднородного уравнения в виде:

- новая искомая функция

§8. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

- дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами

- постоянные коэффициенты