Частотные характеристики сау
Частотные характеристики системы характеризуют реакцию элементарного звена, объекта управления или всей системы на гармоническое воздействие в установившемся режиме.
Пусть
на
вход звена подано гармоническое
воздействие:
(6.6)
где
- амплитуда;
- угловая частота этого воздействия.
Выходной сигнал линейного звена в установившемся режиме будет также представлять собой гармоническую функцию:
(6.7)
где
- амплитуда;
-
угол сдвига выходного гармонического
сигнала по отношению к входному (сдвиг
по
фазе).
С учетом введенных обозначений модуль частотной передаточной функции представляет собой отношение амплитуды выходной сигнала к амплитуде входного в установившемся режиме, т. е.
, (6.8)
а аргумент частотной передаточной функции - сдвиг фазы выходной величины по отношению к входной величине на данной частоте.
Таким
образом, амплитудная
частотная характеристика
(АЧХ)
отражает изменение амплитуды выходного
сигнала звена при пропускании звеном
входного сигнала различной частоты.
Фазовая
частотная характеристика
(ФЧХ)
показывает фазовые сдвиги, вносимые
звеном на различных частотах входного
сигнала.
Амплитудно-фазовая
частотная характеристика
(АФЧХ) строится в полярных координатах
на комплексной плоскости
.
Она представляет собой геометрическое
место концов вектора (годограф),
соответствующих частотной передаточной
функции
при изменении частоты от нуля до
бесконечности.
На
рис. 6.1 в качестве примера приведена
АФЧХ динамического звена (фильтра)
третьего порядка. По оси абсцисс АФЧХ
откладывается вещественная часть
,
а по оси ординат - мнимая часть
.
Годограф описывает изменение амплитуды
и фазы
выходного сигнала при изменении частоты
входного сигнала. Заметим, что при
изменении частоты от нуля до бесконечности
амплитуда годографа уменьшается от
некоторого ненулевого значения до нуля,
а фаза выходного сигнала стремится к
величине -270˚ (вращение годографа против
часовой стрелке принято положительным).
Заметим также, что изменение частоты
от нуля до минус бесконечности
соответствует зеркальному отображению
АФЧХ на комплексной плоскости относительно
оси абсцисс.
апазон
изменения частоты
входного сигнала теоретически равен
бесконечности. Поэтому часто при анализе
и синтезе систем автоматического
управления используются логарифмические
частотные характеристики (диаграмму
Боде)
- логарифмические
амплитудные частотные характеристики
(ЛАЧХ) и логарифмические
фазовые частотные характеристики
(ЛФЧХ), когда по оси абсцисс круговая
частота
откладывается в логарифмическом
масштабе. При этом ЛАЧХ определяют
выражением
. (6.9)
В
табл. 6.1 приведены соотношения, связывающие
модуль частотной передаточной функции
и ее логарифмический эквивалент
,
выражаемый в децибелах.
|
-60 |
-40 |
-20 |
0 |
20 |
40 |
60 |
Частотные передаточные функции
Частотная передаточная функция является важнейшей характеристикой динамической системы управления. В теории автоматического управления она используется, когда необходимо получить частотные характеристики системы по ее передаточной функции.
Для
однозначного преобразования некоторой
непрерывной функции времени
в функцию частоты
служит прямое преобразование (изображение)
Фурье [1, 2]изображению Фурье входной
переменной.
Если
непрерывная функция времени равна
нулю при t
<
0,
то частотная передаточная функция
системы легко может быть найдена по ее
передаточной функции при подстановке
,
где p
– символ преобразования Лапласа, т.
е.
(6.2)
Функция может быть представлена в показательной форме или в форме координат вектора на комплексной плоскости в следующем виде:
(6.3)
где
- модуль частотной передаточной функции,
-
аргумент или фаза частотной передаточной
функции;
- соответственно вещественная и мнимая составляющие частотной передаточной функции.
Из теории комплексных чисел [1, 2] известны следующие выражения, позволяющие сделать переход из показательной формы комплексного числа в алгебраическую форму:
, (6.4)
. (6.5)
И
зменение
модуля и аргумента частотной передаточной
функции при изменении частоты входного
сигнала дает полезную информацию,
необходимую для анализа и синтеза систем
управления в частотной области.
Для анализа частотных свойств звеньев и синтеза корректирующих звеньев САУ используются так называемые частотные характеристики: амплитудная частотная характеристика (АЧХ), фазовая частотная характеристика (ФЧХ) и амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ).
Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) — зависимость амплитуды выходного сигнала от частоты. А также функция выражающая (описывающая) эту зависимость. А также — график этой функции. (Математически амплитуда — это модуль некоторой комплекснозначной функции от частоты.) Также может рассматриваться АЧХ других комплекснозначных функций частоты, например, спектральной плотности мощности сигнала.
АЧХ в теории автоматического управления
АЧХ в теории линейных стационарных систем означает зависимость модуля передаточной функции системы от частоты. АЧХ показывает во сколько раз амплитуда сигнала на выходе системы отличается от амплитуды входного сигнала на всём диапазоне частот.
На графике АЧХ по оси абсцисс откладывается частота, а по оси ординат отношение амплитуд выходного и входного сигналов системы. Обычно для частоты используется логарифмический масштаб, так как исследуемый диапазон частот может изменяться в достаточно широких пределах (от единиц до миллионов Гц или рад/с). В случае когда логарифмический масштаб используется и на оси ординат, АЧХ превращается в логарифмическую амплитудно-частотную характеристику. ЛАЧХ получила широкое распространение в теории автоматического управления в связи с простотой построения и наглядностью при исследовании систем управления.
Фа́зо-часто́тная характеристика (ФЧХ) — зависимость разности фаз между выходным и входным сигналами от частоты сигнала, функция, выражающая (описывающая) эту зависимость, также — график этой функции.
Для линейной электрической цепи, зависимость сдвига по фазе между гармоническими колебаниями на выходе и входе этой цепи от частоты гармонических колебаний на входе.
Часто ФЧХ используют для оценки фазовых искажений формы сложного сигнала, вызываемых неодинаковой задержкой во времени его отдельных гармонических составляющих при их прохождении по цепи.
Определение ФЧХ
В теории управления ФЧХ звена определяется из равенства её тангенса отношению мнимой части АФЧХ к действительной:
