Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Содержание курса.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.07.2025
Размер:
131.58 Кб
Скачать

1.2. Определение графа. Приложения теории графов

Д

ля описания строения различных систем, состоящих из взаимосвязанных элементов, часто используют графические схемы, изображая сами эти элементы точками, а связи между ними – линиями, соединяющими эти точки. При этом получаются диаграммы:

a b c d e

f g h k l

Рис. 1.6

Н

а этих диаграммах ни расположение точек на рисунке, ни форма и длина линий не играют никакой роли. Существенно лишь, какие именно пары точек соединены линиями. Такие диаграммы описывают связь между элементами системы. Так, например, диаграммы с, d и e представляют собой одну и ту же структуру связи между элементами A, B, C, D, F: (A, B), (B, C), (C, D), (D, F), (F, A), (D, B). В данном случае пары неупорядоченные, поскольку порядок элементов в них не важен (в противном случае они бы назывались упорядоченными). Пары элементов, а также рисунки с, d и e обозначают один и тот же математический объект. Одинаковые структуры связи между элементами описывают также диаграммы f и g; h, k и l.

Определение 1.1. Графом G называется пара множеств V и E (G =<V, E>), где V - непустое множество, а E – некоторое множество пар элементов множества V (E VV). Элементы множества V называются вершинами, а элементы Eребрами графа. Граф G с множеством вершин E и множеством ребер V будем также обозначать G(V, E).

Пример: На диаграмме c рисунка 1.6 V = {A, B, C, D, E},

E = {(A, B), (B, C), (C, D), (D, E), (E, A), (D, B)}.

Замечание. Из определения 1.1. вытекает связь между графами и бинарными отношениями. Однако в дискретной математике явное предпочтение отдается графам, поскольку язык теории графов весьма удобен для описания различных моделей (в том числе и моделей компьютерных программ).

Приведем ряд примеров приложений теории графов.

1. Транспортные задачи, в которых вершинами графа являются пункты, а ребрами – дороги (автомобильные, железные и др.) и/или другие транспортные маршруты (например, авиационные). Сюда же можно отнести и модели сетей снабжения (энергоснабжения, газоснабжения, снабжения товарами и т.д.), в которых вершинами являются пункты производства и потребления, а ребрами – возможные маршруты перемещения (линии электропередач, газопроводы, дороги и т.д.). Соответствующий класс задач оптимизации потоков грузов, размещения пунктов производства и потребления и т.д., иногда называют задачами обеспечения или задачами о грузоперевозках.

2. Технологические задачи, в которых вершины отражают производственные элементы (заводы, цеха, станки и т.д.), а дуги (т.е. ребра, в которых пары вершин упорядоченные) – потоки сырья, материалов и продукции между ними, заключаются в определении оптимальной загрузки производственных элементов и потоков, обеспечивающих эту загрузку.

3. Модели организационных структур, в которых вершинами являются элементы организационной системы, а ребрами или дугами – связи (информационные, управляющие, технологические и др.) между ними. Примерами моделей оргструктур являются компьютерные программы, управление проектом строительства некоторого объекта. В рамках таких моделей решаются задачи определения последовательности выполнения операций и распределения ресурсов между ними, оптимальных с точки зрения тех или иных критериев (времени выполнения проекта, затрат, риска и др.).

4. Модели коллективов и групп, используемые в социологии, основываются на представлении людей или их групп в виде вершин, а отношений между ними (например, отношений знакомства, доверия, симпатии и т.д.) – в виде ребер или дуг. В рамках подобного описания решаются задачи исследования структуры социальных групп, их сравнения, определения согласованности взаимодействия между представителями группы и др.