Дополнительная литература

8. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Сборник задач по дискретной математике. - М.: Наука, 1977.

9. Евстигнеев В.А. Применение теории графов в программировании. - М.: Наука, 1985.

Глава I. Начальные понятия теории графов

Теория конечных графов – это раздел дискретной математики, исследующий свойства конечных множеств с заданными отношениями между их элементами. В виде графов можно, например, представить схемы дорог и электрические цепи, географические карты и структурные формулы химических соединений, связи между людьми и группами людей. В последнее время теория графов находит широкое применение при проектировании интегральных схем и схем управления, при исследовании автоматов, логических цепей, блок-схем программ, в экономике и статистике, химии и биологии. В значительной степени через теорию графов происходит проникновение математических методов в науку и технику. Все это привело к тому, что теория графов появилась в учебных планах университетов и технических вузов.

1.1. Из истории теории графов

Родоначальником теории графов является Леонард Эйлер (1707 – 1783). В 1736 году он решил задачу о кенигсбергских мостах. В г. Кенигсберг (ныне - Калининград) есть река Преголь, в русле которой расположены два острова. Вместе с двумя берегами они образуют четыре участка суши, соединенных друг с другом семью мостами. Задача состояла в следующем: «Найти маршрут прохождения всех четырех участков суши (см. рис. 1.1), который бы начинался на любом из них, заканчивался на этом же участке и ровно один раз проходил по каждому из семи данных мостов.»

Рис. 1.1 Рис. 1.2

При решении задачи Эйлер обозначил части суши точками, а мосты – линиями, и получил граф (точнее, мультиграф), изображенный на рисунке 1.2. Утверждение о существовании положительного решения задачи о кенигсбергских мостах эквивалентно утверждению о возможности обойти этот граф. Эйлер нашел критерий существования обхода у графа: граф должен быть связным и каждая его вершина должна быть инцидентна четному числу ребер. Поскольку в данном графе каждая вершина инцидентна нечетному числу ребер, то искомый маршрут не существует. Так было доказано, что задача о кенигсбергских мостах не имеет решения. Однако этот результат более ста лет оставался единственным результатом теории графов.

В

1847 году инженер-электрик Г. Кирхгофф, рассматривая электрические цепи, каждую из них заменял на соответствующий граф.

В 1857 году математик А. Кэли, стараясь найти все изомеры предельных углеводородов С_nH_2n+2 (к ним, в частности, относятся метан CH₄ и этан C₂H₆ – см. рис. 1.3.) открыл важный класс графов – деревья.

Рис. 1.3

В 1869 Жордан независимо от Кэли ввел и изучал деревья, как отдельные математические объекты. С того времени можно считать, что теория графов возникла как самостоятельная математическая дисциплина. Однако термин “граф” впервые был введен венгерским математиком Д. Кенигом лишь в 1936 году - спустя 200 лет после решения Эйлером первой задачи теории графов.

В ХХ веке новый импульс развитию теории графов придало решение двух новых задач.

1. Задача о трех домах и трех колодцах. Имеется три дома и три колодца. Провести от каждого дома к каждому колодцу тропинку так, чтобы тропинки не пересекались (рис. 1.4). Эту задачу решил польский математик Куратовский (1896-1979) в 1930 году.

2. Задача о четырех красках. Любую карту на плоскости раскрасить четырьмя красками так, чтобы никакие 2 соседние области не были закрашены одним цветом (рис. 1.5). Первое общепризнанное доказательство теоремы о возможности такой раскраски было опубликовано американскими математиками Аппелем и Хаккеном в 1977 г.

Задачи о Кёнигсбергских мостах, о трех домах и трех колодцах, о четырех красках являются одними из важнейших задач теории графов. Их решения будут подробно рассмотрены в следующей главе данного курса.

Рис. 1.4 Рис. 1.5