4. Средние величины подразделяются на степенные средние (среднюю степенную, среднюю арифметическую, среднюю гармоническую и т,д,) и структурные средние (моду, медиану),
Виды средних величин:
По наличию признака-веса:
невзвешенная средняя величина рассчитывается для признака без учета влияния на него других признаков (простая средняя);
взвешенная средняя величина, рассчитываемая для признака с учетом влияния на него других признаков;
по охвату совокупности :
групповая средняя величина , рассчитанная для однородной совокупности и отражающая наиболее характерную величину явления в каждой группе;
общая средняя величина, рассчитанная для неоднородной совокупности как средняя из групповых средних, взвешенных по числу включенных в каждую группу элементов совокупности;
по форме расчета:
средняя арифметическая величина;
средняя гармоническая величина;
средняя геометрическая величина;
средняя квадратическая , кубическая и т,д, величины,
Данные средние выводится из формул степенной средней
Где Х-величины , для которых исчисляется средняя;
-средняя
величина, где черта сверху свидетельствует
о том, что имеет место осреднение
индивидуальных значений;
n- Частота (повторяемость индивидуальных значений признака),
При K=1 данная формула превращается в формулу расчета средней арифметической; при K=-1 – средней гармонической ; при K=0-средней геометрической ; при K=2-средней квадратической.
Лекция№7 Тема: «Средняя арифметическая величина »
1 При K=1 формула расчета степенной средней превращается в формулу расчета средней арифметической :
Средняя арифметическая величина – наиболее характерна форма средней.
2. Виды средней арифметической величины:
Средняя арифметическая невзвешенная величина наиболее распространена ; она рассчитывается путем деления значений признака каждого элемента совокупности на число элементов совокупности :
Средняя арифметическая взвешенная величина рассчитывается , если имеются сведения о количестве или доле единиц совокупности каждого значения осредняемого признака:
3.Свойства средней арифметической величины:
Сумма всех отклонений каждого значения признака от среднего арифметического значения равна нулю, т.е.
Таким образом, если взять отклонения каждого из вариантов от средней величины , а затем сложить , то получится ноль , что свойственно как арифметическим невзвешенным так и взвешенным средним значениям ;
Произведение каждого значения признака на соответствующую ему частоту равно произведению средней величины на сумму частот:
Средняя величина есть результат распределения объема совокупности поровну между всеми ее элементами;
Сумма квадратов отклонения индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше суммы квадратов отклонения от любой другой величины;
Если увеличить или уменьшить все варианты осредняемого признака на какое-либо одно и то же число, то объем средней величины соответственно увеличится или уменьшится на это же число;
Если увеличить или уменьшить все варианты осредняемого признака в какое-либо число раз, то объем средней величины соответственно увеличится или уменьшится в это же количество раз;
От увеличения или уменьшения веса каждого варианта признака в какое-либо число раз величина средней не изменится. Применение данного свойства с практической точки зрения удобно, если необходимо проанализировать совокупность со значительным количеством элементов, а частота элементов выражена многозначными числами. Если частоты элементов равны между собой, то среднюю можно рассчитать как невзвешенную;
Как следствие предыдущего свойства можно сказать, что величина средней зависит не от абсолютных значений веса отдельных элементов, а от их доли в общей сумме весов, т.е. если не известны абсолютные выражения весов элементов, а известны пропорции между ними, то они могут использоваться для расчета средней;
Средняя арифметическая совокупности, состоящей из их постоянных величин, равна этой постоянной.