2.4 Сложные учетные ставки
Рассмотрим теперь антисипативный способ начисления сложных процентов
Пусть
- сложная годовая
учетная ставка;
- относительная
величина сложной учетной ставки;
kну – коэффициент наращения для случая учетной ставки;
f – номинальная годовая учетная ставка.
Тогда по прошествии n лет наращенная сумма S в соответствии с формулой 2.5 составит
(4.1)
отсюда для множителя наращения имеем
(4.2)
сравнивая формулы 3.1 и 4.1, легко видеть, что при равенстве ссудного процента и учетной ставки наращение первоначальной суммы во втором случае (антисипативный метод) идет быстрее.
Поэтому в литературе часто можно встретить утверждение, что декурсивный метод начисления более выгоден для заемщика, а антисипативный – для кредитора.
Для периода начисления, не являющегося целым числом, имеем
(4.3)
при учетной ставке, изменяющейся в течение срока ссуды, наращенная сумма превращается в
(4.4)
для начисления процентов m раз в году формула имеет такой вид:
(4.5)
или
(4.6)
при этом mn – целое число интервалов начисления за весь период начисления, l – часть интервала начисления.
При непрерывном начислении процентов S рассчитывается по формуле:
(4.7)
из полученных формул путем преобразований получаем формулы для нахождения первоначальной суммы, срока начисления и величины учетной ставки:
(4.8)
(4.9)
(4.10)
(4.11)
(4.12)
мы рассмотрели различные способы начисления процентов. В заключении составим таблицу, дающую возможность наглядного представления результатов, получаемых при этих способах для одной и той же первоначальной суммы, одинаковых по величине процентных ставок и периодов начисления n.
Таблица 1. величина наращенной суммы в зависимости
От вида процентной ставки
Р=10 000 ам.долл., величина процентной ставки – 10%.
Величина наращенной суммы |
n=1 |
n=3 |
n=6 |
S=P(1+in) простые проценты |
11 000 |
13 000 |
16 000 |
S=P(1+i)^n сложные проценты |
11 000 |
13 310 |
17 716 |
S=Pe^jn непрерывное начисление |
11 052 |
13 499 |
18 222 |
S=P/(1-dn) простые учетные ставки |
11 111 |
14 286 |
25 000 |
S=P/(1-d)^n сложные учетные ставки |
11 111 |
13 717 |
18 816 |
Пример 15.
Первоначальная сумма долга равняется 25 000 000 руб. определить величину наращенной суммы через три года при применении декурсивного и антисипативного способов начисления процентов. Годовая ставка – 25%.
Решение.
По формулам 3.1 и 4.1 получаем
S1=25 000 000(1+0.25)^3=48 828 125 руб.
S2=25 000 000/ (1-0.25)^3= 59 255 747 руб.
Пример 16.
Определить современное значение суммы в 120 000 000 руб., которая будет выплачена через два года, при использовании сложной учетной ставки 20% годовых.
Решение
Производим расчет по формуле 4.8
Р=120 000 000 (1-0,2)^2= 76 800 000 руб.