10.9. Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений

Матрица Якоби:

Итерационная формула метода Ньютона:

. (10.13)

 ( – влево, результат умножить на ,

(10.14)

.



(10.15)

Сходимость:

Если , то в этой окрестности метод Ньютона сходится, с квадратичной скоростью, т.е. если , то .

Критерий окончания итерационного процесса:

. (10.16)

Если начальное приближение выбрано удачно, то метод Ньютона сходится очень быстро.

Пример. Используя метод Ньютона, найдем с точностью решение системы

Начальное приближение: .

Таблица 10.2.

Результаты расчетов

k	0	1	2	3
	3.80000	3.77258	3.77388	3.77389
	2.00000	2.07189	2.07708	2.07710

При k=2 критерий окончания

Можно положить ~ .

10.10. Модификации метода Ньютона

1) Упрощенный метод Ньютона

Замена в (10.14), (10.15) на :

(10.17)

(10.18)

Метод сходится со скоростью геометрической прогрессии

2) Использование формул численного дифференцирования

Элементы – .

Использование конечно-разностной аппроксимации производной:

(10.19)

Итерационный метод:

, (10.20)

. (10.21)

Шаг

3) Метод ложного положения

Формулы (10.19)-(10.21) при , – фиксированный вектор – метод ложного положения (линейная скорость сходимости, при удачном выборе и )

4) Метод секущих

– метод секущих (двухшаговый). Метод секущих сходится с порядком сходимости .

5) Метод Стеффенсена

Формулы (10.19)-(10.21) при – метод Стеффенсена.

Сходимость – квадратичная.