17

Тема №10

Вычисление корней нелинейных уравнений.

Отделение корней.

Метод деления отрезка пополам.

Метод хорд.

Методы простой итерации, Ньютона.

Модификации метода Ньютона. Сходимость.

Метод Вегстейна.

Решение систем нелинейных уравнений.

Методы простой итерации, Зейделя, Ньютона. Сходимость

10.1. Основные этапы решения нелинейных уравнений. Скорость сходимости

, (10.1)

Определение 1. Метод сходится со скоростью геометрической прогрессии, знаменатель которой , если для всех справедлива оценка .

Определение 2. Пусть в некоторой окрестности корня , где . В этом случае число называют порядком сходимости метода.

– линейная скорость сходимости;

, – квадратичная скорость сходимости.

  .

Рисунок 1 – Идеальная ситуация

Рисунок 2 – Реальная ситуация

, где – абсолютная погрешность.

Если – непрерывна и :

. (10.2)

– интервал неопределенности корня .

Оценка величины

Для .

,

.

, , здесь - число обусловленности.

Если - корень уравнения , то и .

– радиус интервала неопределенности:

 при ;  при .

Если – корень кратности m, то доказано, что .

Правило Гарвика

Вдали от интервала неопределенности величина

(10.3)

– начало «разболтки»

10.2. Метод деления отрезка пополам (метод бисекций)



Теорема Больцано-Коши:

Метод бисекций:

Построение последовательности вложенных отрезков , на концах которых функция принимает значения разных знаков. Каждый последующий отрезок получают делением пополам предыдущего. Процесс построения последовательности отрезков позволяет найти нуль функции (корень уравнения ) с любой заданной точностью.

Точность : длина отрезка меньше .

Середина n-го отрезка – точка –приближение к

с погрешностью .

Метод бисекции сходится со скоростью геометрической прогрессии, знаменатель которой

Метод сходится для любых непрерывных функций , в том числе и недифференцируемых

Корень – простой корень дифференцируемой функции , если:

и .

Точность – N итераций, где : (три верных знака –10 итераций)

10.3. Метод простых итераций (метод последовательных приближений)

1. Замена на эквивалентное уравнение

2. Построение последовательности , сходящейся при к точному решению.

Теорема. Пусть функция определена и дифференцируема на , причем все ее значения . Тогда, если существует число такое, что на отрезке , то последовательность сходится к единственному на решению уравнения при любом начальном значении . Т.е. .

Если на отрезке , то ,

если , то .

Метод простой итерации обладает линейной скоростью сходимости, так как справедлива оценка .

Один шаг итерации:

 .

Если , то  и переход на очередную итерацию.

Если , то окончание вычислений, .

Погрешность:  корень найден с погрешностью ,

, погрешность не превышает .

Выбор ?

 где – ?

Метод релаксации:

: , :

,

,

Условие сходимости выполняется, если .

Если , то метод релаксации сходится при ; ; , где .

Если , уравнение  .

Замечание. Вблизи корня асимптотическая сходимость определяется величиной и будет особенно быстрой при .

Пример.

Уравнение

 – метод не сходится.

 . –метод сходится быстро.