Вариант № 3655890

1. B 15 . Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

 

.

Най­дем нули про­из­вод­ной:

 

.

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

 

В точке за­дан­ная функ­ция имеет ми­ни­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­мень­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­мень­шее зна­че­ние:

 

.

Ответ: −9.

Ответ: -9

2. B 15 № 77452. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

 

.

Най­дем нули про­из­вод­ной:

 

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

 

В точке за­дан­ная функ­ция имеет ми­ни­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­мень­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­мень­шее зна­че­ние: .

Ответ: −3.

Ответ: -3

3. B 15 № 26734. Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

 

Най­дем нули про­из­вод­ной:

 

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

 

Ис­ко­мая точка ми­ни­му­ма .

Ответ: −2,5.

Ответ: -2,5

4. B 15 № 26711. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

 

 

Най­дем нули про­из­вод­ной:

 

 

 

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка мак­си­му­ма .

 

Ответ: 8.

Ответ: 8

5. B 15 № 129871. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

 

.

Най­дем нули про­из­вод­ной:

 

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

 

Ис­ко­мая точка мак­си­му­ма .

Ответ: 18.

Ответ: 18

6. B 15 № 245175. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции .

 

 

Ре­ше­ние.

Вы­де­лим пол­ный квад­рат:

 

 

От­сю­да имеем:

 

 

По­это­му наи­мень­шее знач­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся в точке 3, и оно равно 2.

 

 

Ответ: 2.

 

При­ме­ча­ние.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

 

По­сколь­ку функ­ция воз­рас­та­ю­щая, а под­ко­рен­ное вы­ра­же­ние по­ло­жи­тель­но при всех зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной, за­дан­ная функ­ция до­сти­га­ет наи­мень­ше­го зна­че­ния в той же точке, в ко­то­рой до­сти­га­ет наи­мень­ше­го зна­че­ния под­ко­рен­ное вы­ра­же­ние. Квад­рат­ный трех­член с по­ло­жи­тель­ным стар­шим ко­эф­фи­ци­ен­том до­сти­га­ет наи­мень­ше­го зна­че­ния в точке , в нашем слу­чае — в точке 3, и оно равно 4. Сле­до­ва­тель­но, наи­мень­шее зна­че­ние за­дан­ной функ­ции .

Ответ: 2

7. B 15 № 77445. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

 

.

Най­дем нули про­из­вод­ной:

 

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

 

Из ри­сун­ка видно, что наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке до­сти­га­ет­ся в точке . Оно равно

Ответ: −25.

Ответ: -25

8. B 15 № 77448. Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции .

 

Ре­ше­ние.

Найдём про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

 

 

Най­дем нули про­из­вод­ной:

 

 

 

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

 

В точке −3 про­из­вод­ная ме­ня­ет знак с ми­ну­са на плюс, по­это­му эта точка яв­ля­ет­ся точ­кой ми­ни­му­ма.

Ответ: −3.

Ответ: -3

9. B 15 № 77492. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции , при­над­ле­жа­щую про­ме­жут­ку .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

 

.

 

На за­дан­ном про­ме­жут­ке (пер­вая чет­верть без гра­нич­ных точек) синус не об­ра­ща­ет­ся в нуль и при­ни­ма­ет толь­ко по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния. По­это­му един­ствен­ный нуль про­из­вод­ной — число 1,5.

 

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции: она по­ло­жи­тель­на при x < 1,5 и от­ри­ца­тель­на при x > 1,5. По­это­му ис­ко­мая точка мак­си­му­ма — число 1,5.

 

Ответ: 1,5.

Ответ: 1,5

10. B 15 № 77476. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .