Рассмотрим кривую общего выпуска продукции описываемой кубическим уравнением:

Q=a+bX+cX²+dX³=

=850+1011X+945X²-79X³ (вариант 1).

Аналитическое уравнение предельного продукта MP_Х будет иметь вид:

MP_Х=dQ/dX= b+2cX+3dX²=

=1011+1890X-237X²

Для того чтобы определить, сколько максимально необходимо внести удобрений, чтобы достигнуть максимального уровня урожая картофеля, достаточно приравнять уравнение MP_Х=0 и решить его относительно Х:

MP_Х=dQ/dX= b+2cX+3dX²=

=1011+1890X-237X²=0

Решим полученное уравнение относительно Х с помощью общей формулы для корней квадратного уравнения:

т.е. А=3d, В=2с и С=b. При MP_Х=0 (т.е. при таком значении вводимого фактора Х, когда уровень выпуска продукции максимален), на рис. 1. это наглядно видно – график функции MP_Х пересекает ось абсцисс.

-0,503 или 8,478 (см. колонка 2, 3)

Поскольку отрицательное значение вводимого фактора производства физически невозможно, единственно возможный ответ таков: для достижения максимального уровня выпуска картофеля уровень вводимого фактора производства X должен быть равен 8,478 мешков удобрений.

Обратите внимание на рис. 1. при MP_Х=0, Х=9, т.е. и графический и табличный методы грешат неточностью в отличие от аналитического метода.

Аналитическое уравнение первой производной предельного продукта MP_Х будет иметь вид:

MP_Х'=dMP_Х/dX= 2c+6dX= 1890-474X

Для того, чтобы определить значение, при котором MP_Х=max, достаточно приравнять MP_Х'=0:

MP_Х'=dMP_Х/dX=2c+6dX= 1890-474X=0

X=1890/474=3.987 (см. колонка 4)

Обратите внимание на рис. 1. при MP_Х=max, Х=4.

Мы сделали табличный, графический и аналитический анализ производственной функции. И теперь можем перейти к заданию.

Задание1.

В приведенной таблице 2. выберете свой вариант. Постройте таблицу 1., графики кривых, как показано на рис. 1., проведите вычисления со своими данными и полученные результаты сравните с ответами. Сделайте анализ производственной функции.

Ответьте на вопросы:

1. Какие выводы можно сделать на основании анализа этих кривых?

2. В чем заключаются важнейшие свойства производственной функции?

Кубическая производственная функция хорошо отражает как увеличивающуюся, так и уменьшающуюся предельную производительность, имеющую место, при единственном переменном вводимом факторе производства.

Если специфический вводимый фактор производства отсутствует, то никакой продукции выработано быть не может и, следовательно, постоянный параметр а будет равен нулю. В таком случае кубическая производственная функция обнаруживает следующие свойства.

Средний выпуск продукции. При отсутствии в кубической функции параметра а средний выпуск продукции AP_Х для кубической производственной функции может быть выражен в следующем виде:

(6)

т.е. представляет собой квадратичную функцию. Стадия 2 начинается в точке пересечения кривых AP_Х и MP_Х, где величина среднего выпуска продукции AP_Х максимальна и равна величине предельного продукта MP_Х.

Предельный продукт также представляет собой квадратичную функцию:

(7)

Поскольку параметр d в кубической производственной функции всегда отрицателен, предельный продукт MP_Х вначале увеличивается, а затем уменьшается.

Эластичность. В отсутствие параметра а эластичность производства может быть выражена в виде:

(8)

Поскольку указанное отношение изменяется по величине при изменении величины X, эластичность различна в любой точке кривой общего выпуска продукции.