
- •21.Постановка задачи численного интегрирования
- •22.Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
- •23. Численное интегрирование. Приближенное вычисление с помощью формул трапеций.
- •24. Численное интегрирование. Приближенное вычисление с помощью формул Симпсона. Формула Симпсона
- •25. Особенности задач численного дифференцирования. Формулы численного дифференцирования
- •28. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Модификации метода Эйлера. Неявный метод Эйлера
- •29. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Эйлера – Коши. Метод Эйлера-Коши
- •30. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Неявный метод Эйлера – Коши
- •31.Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Первый улучшенный метод Эйлера.
- •32.Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Рунге-Кутты.
- •33.Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Рунге-Кутты третьего порядка точности
- •34.Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Рунге-Кутты четвертого порядка точности
- •35.Методы обработки и анализа экспериментальных данных. Сущность метода наименьших квадратов.
- •36.Метод наименьших квадратов. Виды приближающих функций. Метод наименьших квадратов
30. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Неявный метод Эйлера – Коши
Если на правой границе интервала использовать точное значение производной к решению (т.е. тангенса угла наклона касательной), то получается неявный метод Эйлера-Коши (метод трапеций) второго порядка точности.
yk +1 |
= yk + |
h( f (xk , yk ) + f (xk +1 |
, yk +1 )) |
(4.5) |
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
xk +1 = xk + h
31.Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Первый улучшенный метод Эйлера.
Первый улучшенный метод Эйлера
Данный метод использует расчет приближенного значения производной от решения в точке на середине расчетного интервала. Значение производной в середине получают применением явного метода Эйлера на половинном шаге по х.
yk +1/ 2 = yk + |
h |
f (xk , yk ) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
yk +1 |
= yk + hf (xk +1/ 2 , yk +1 / 2 ) |
(4.7) |
|
||
xk +1 |
= xk + h |
|
|
||
xk +1 / 2 = xk + h / 2 |
|
|
Данная модификация метода Эйлера имеет второй порядок точности.
32.Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Рунге-Кутты.
Все рассмотренные выше явные методы являются вариантами методов Рунге-Кутты
Семейство явных методов Рунге-Кутты р-го порядка записывается в виде совокупности
формул:
yk +1 = yk + yk
yk = ∑p ci Kik i=1
i−1
Kik = hf (xk + ai h, yk + h∑bij K kj )
j=1
i = 2,3..... p
Параметры ai , bij , ci подбираются так, чтобы значение соотношению (4.8) совпадало со значением разложения в точке
ряд Тейлора с погрешностью O(h p+1 )
33.Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Рунге-Кутты третьего порядка точности
Метод Рунге-Кутты третьего порядка точности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Один |
|
|
|
|
|
|
из |
|
|
|
|
|
методов |
|
Рунге-Кутты |
|
|
третьего |
порядка |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( p = 3, a = 0, a |
2 |
= |
1 |
, a |
3 |
= |
|
2 |
, b |
= |
1 |
, b |
= 0, b |
= |
2 |
, c |
= |
1 |
, c |
2 |
= 0, c |
3 |
= |
3 |
) имеет вид: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
21 |
3 |
31 |
32 |
3 |
1 |
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
yk +1 = yk + |
yk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
yk = |
1 |
(K1k + 3K3k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.9) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
K1k = hf (xk , yk ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
K2k = hf (xk |
+ |
1 |
|
h, yk + |
|
1 |
|
K1k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
K3k = hf (xk |
+ |
2 |
h, yk + |
|
2 |
K 2k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|