28. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Модификации метода Эйлера. Неявный метод Эйлера

Медленная сходимость метода Эйлера (его погрешность убывает пропорционально лишь первой степени h) является серьезным препятствием для использования его на практике. Из рис. 5.3 видно, что один шаг по касательной к интегральной кривой приводит к значительной величине локальной погрешности l_n. Можно ли так подправить расчетную формулу метода, чтобы существенно уменьшить величину l_n?

Если у(t) — решение дифференциального уравнения y'(t)=f(t, y(t)), (5.12)

удовлетворяющее условию у(t_n)=у_п. Далее, пусть (5.13) - угловой коэффициент секущей, проходящей через точки (t_n, у(t_n)) и (t_n+1, y(t_n+1)) графика функции у(t) (рис. 5.5).

Ясно, что "метод", состоящий в вычислении по формуле y_п+1=y_п+hk_n, (5.14)

имеет нулевую локальную погрешность. Для того чтобы воспользоваться этой формулой, нужно лишь "научиться вычислять значение k" Интегрируя обе части уравнения (5.12) по t от t_n до t_n+1 и используя формулу Ньютона—Лейбница

приходим к (5.15)

Известно, что больший порядок точности имеет формула трапеций. Применяя её, получим правило трапеций:

y_n+1=y_n+h/2(f(t_n, y_n)+f(t_n+1, y_n+1)) (5.16)

Этот метод имеет второй порядок точности, но является неявным. Поэтому его реализация связана с необходимостью решения относительно y_n+1 нелинейного уравнения (5.16).

Построив на основе правила трапеций явный метод получим метод

y_n+1=y_n+h/2(f(t_n, y_n)+f(t_n+1, y_n+hf(t_n, y_n))) (5.17)

который называют методом Эйлера—Коши (или методом Хьюиа). Геометрическая иллюстрация этого метода представлена на рис.5.6. 

Вычисления разбивают на два этапа. На первом этапе (этапе прогноза) в соответствии с методом Эйлера у⁽⁰⁾_п+1=y_п+hk⁽¹⁾_n, k⁽⁰⁾_n=f(t_n, y_п) вычисляют грубое приближение к значению у(t_n+1). В точке (t_n+1, y_n+1) определяют угловой коэффициент

  k⁽²⁾_n=f(t_n+1, y⁽⁰⁾_n+1). На втором этапе (этапе коррекции) вычисляют усредненное значение углового коэффициента k_n=(k⁽¹⁾_n+k⁽²⁾_n)/2. Уточненное значение у_n+1 находят по формуле y_n+1=y_п+hk_n, что соответствует шагу по прямой, проходящей через точку (t_n, y_п) и имеющей узловой коэффициент, равный k_n.

29. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Эйлера – Коши. Метод Эйлера-Коши

Одной из модификаций метода Эйлера является метод Эйлера-Коши (или модифицированный метод Эйлера).

В этом методе в качестве искомого направления берется средний тангенс угла наклона касательной для двух точек: (x_i , y_i) и (x_i+h, y_i+hy_i′).

Последняя точка была искомой в методе Эйлера и обозначалась как (x_i+1 , y_i+1), теперь же эта точка рассматривается как вспомогательная.

Метод Эйлера-Коши рекомендует следующий порядок вычислений:

k₁=hf(x_i , y_i)

k₂=hf(x_i+h, y_i+k₁)

y_i+1=y_i+(k₁+k₂)/2

Геометрически процесс нахождения точки (x_i+1 , y_i+1) можно проследить на рис. 3.

Рис. 3. Метод Эйлера-Коши.

Из точки (x_i, y_i) проводим касательную L₁ с тангенсом угла наклона

k₁=hy_i′=hf(x_i , y_i).

Пересечение прямой L₁ с ординатой, проведенной из точки x=x_i+1, дает точку (x_i+1 , y_i+k₁).

Напоминаем, что в методе Эйлера эта точка рассматривалась как искомая, здесь же — как промежуточная. В этой точке снова вычисляем тангенс угла наклона k₂=hf(x_i+h, y_i+k₁) и из нее проводим касательную L₂ в этом направлении.

Усреднение двух тангенсов (k₁+k₂)/2 определяет касательную L*, проведенную из точки (x_i+h, y_i+k₁).

Наконец, через точку (x_i, y_i) проводим прямую L, параллельную L*.

Точка, в которой прямая L пересечет ординату, восстановленную из x=x_i+h=x_i+1, и будет искомой точкой (x_i+1, y_i+1).

Метод Эйлера-Коши согласуется с разложением в ряд Тейлора вплоть до членов степени h² и является, таким образом, методом второго порядка.

При использовании этого метода функцию f(x, y) необходимо вычислять дважды — в точках (x_i , y_i) и (x_i+h, y_i+hy_i′).

Погрешность метода Эйлера-Коши порядка h³.