21.Постановка задачи численного интегрирования

Задача численного интегрирования функции заключается в вычислении определенного интеграла на основании ряда значений подынтегральной функции. Численное вычисление однократного интеграла называется Механической квадратурой.

Мы будем рассматривать способы приближенного вычисления определенных интегралов

, (2.1)

Основанные на замене интеграла конечной суммой:

, (2.2)

Где СK- числовые коэффициенты, а Xk Î [A, B], K = 0, 1, …, N.

Приближенное равенство

(2.3)

Называется квадратурной формулой, а XK – узлами квадратурной формулы. Погрешность квадратурной формулы определяется соотношением

. (2.4)

В общем случае погрешность квадратурной формулы (2.4) зависит как от выбора коэффициентов Ск , так и от расположения узлов Хк. Введем на отрезке [A, B] равномерную сетку с шагом H, тогда Xi = A + Ih, где (I = 0, 1, ..., N; H·N = B-A). Теперь выражение (2.1) можно представить в виде суммы интегралов по частичным отрезкам:

(2.5)

Таким образом, для построения формулы численного интегрирования на отрезке [A, B] достаточно построить квадратурную формулу на частичном отрезке [Xi-1, Xi] и воспользоваться формулой (2.5).

22.Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.

Квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Эти формулы получены путем кусочно-многочленной интерполяции по равноотстоящим узлам. При интерполировании полиномом нулевого порядка, совпадающим с функцией в одной точке получим формулы прямоугольников

где

x_i=a+i h формула левых прямоугольников;

x_i=a+(i+1)h формула правых прямоугольников;

x_i=a+(i+0.5)h формула средних прямоугольников;

При интерполировании по двум узлам a и b полиномом первого порядка получим формулу трапеций

при произвольном числе узлов интерполирования n получим

x_i=a+i h, i=0,1,2,...n, f_i=f(xi).

23. Численное интегрирование. Приближенное вычисление с помощью формул трапеций.

На элементарном отрезке  заменим подынтегральную функцию интерполяционным полиномом первой степени:

Выполняя интегрирование на отрезке, приходим к локальной  формуле трапеций:

             (3.4)

Замечание. Название формулы связано с тем, что интеграл по элементарному отрезку заменяется площадью трапеции с основаниями, равными значениям  на краях отрезка, и высотой, равной

Суммируя (3.4) по всем отрезкам, получаем формулу трапеций для вычисления приближения к I:

                                                            (3.5)

В случае постоянного шага интегрирования формула принимает вид:

                                                                                                                    (3.5а)

О точности приближения  к  см. п. 3.3.

24. Численное интегрирование. Приближенное вычисление с помощью формул Симпсона. Формула Симпсона

На элементарном отрезке  используя значение функции в центре отрезка, заменим подынтегральную функцию  интерполяционным полиномом второй степени:

Напомним, что мы обозначили:   а значение в полуцелой точке

Вычисляя интеграл от полинома на отрезке  приходим к локальной формуле Симпсона:

                                                 (3.6)

Суммируя (3.6) по всем отрезкам, получаем формулу Симпсона для вычисления приближения к I:

                                         (3.7)

Для постоянного шага интегрирования  формула Симпсона принимает вид

            (3.8)

Замечание. Последнюю формулу иногда записывают без использования дробных индексов, в виде

       (3.8а)

К этой записи приходим, если под локальной формулой понимать результат интегрирования по паре элементарных отрезков:

где  — интерполяционный полином второй степени для  на  построенный по значениям в точках      Суммируя локальные приближения по всем парам, получим (3.8а). Разумеется, число пар на [a, b] в этом случае должно быть целым, т. е. N — четным.

Формулы, используемые для приближенного вычисления интеграла, называются квадратурными.