2. Види іплікації

Всі імплікації можна розділити на три види:

‒ Стандартні імплікації, для яких виконується принцип «всяке висловлювання імплікує саме себе»;

‒ Нестандартні імплікації, для яких виконується принцип «невірно, що всяке висловлювання імплікує саме себе»;

‒ Проміжні імплікації, для яких не виконується ні принцип «кожен вислів імплікує саме себе», ні принцип «Невірно, що кожне висловлювання імплікує саме себе».

Стандартні імплікації звичайно ( але не завжди ) виражаються в природній мові за допомогою умовного висловлювання; нестандартні імплікації зазвичай виражаються за допомогою інших мовних засобів (хоча іноді такі імплікації звичайно виражаються за допомогою « якщо , то »).

Стандартна імплікація є рефлексивним відношенням ; нестандартна імплікація нерефлексивним ( іррефлексивним ) ; проміжна імплікація не є ні рефлексивною , ні іррефлексивною .

Прикладами стандартних імплікацій можуть служити двозначна істинності ‒ функціональна імплікація , звана також « матеріальна » , різні багатозначні істінності ‒ функціональні імплікації , сувора імплікація Льюїса , сильна імплікація Аккермана , та інші.

Наприклад: Коли вода в морі холоне , до берега припливають медузи.

 - Вода в морі холоне ,

 - До берега припливають медузи

До нестандартних імплікації відносяться каузальна імплікація (якщо приймається принцип, що ніщо не є причиною самого себе), перевагу («стан справ, що описуючих висловлювання р, віддається перевага станом справ, описуваного висловлювання q», або просто «р надається перевага q», «p краще q »), тимчасове передування (« подія, що описується висловом р, відбулася раніше події, описуваного висловлюванням q », або« р раніше q ») та інші. Прикладом проміжної імплікації може служити відома ще з античності так звана коннексивна імплікація, про яку більш докладно йдеться далі.

Наприклад: Коли ми говоримо : "Якщо дме вітер , то листя на деревах колишуться " хіба не мається на увазі , що вітер - причина колихання листя. Але ж може бути тому й інша причина - хтось трясе дерево. Можна сказати й так: " Якщо Ганна сміється , то вона весела " , хоча не сміх - причина веселощів , а навпаки.

Навряд чи можна сформулювати таке визначення імплікації, яке охоплювало б стандартні, проміжні і нестандартні імплікації.

Окрім тризначної логіки, з метою усунення парадоксів матеріальної імплікації та з метою інтерпретації модальної силогістики Арістотеля, Я. Лукасевич побудував чотиризначну модальну логіку, куди ввів додаткові проміжні значення істинності, - "можливо істинне", "можливо хибне". Приклад проміжної імплікації:

Матеріальна імплікація не вимагає змістовного зв'язку висловлень, що з'єднуються за допомогою неї. Матеріальна імплікація (від лат. implicatio — переплетення, тісний зв’язок) є умовним судженням, що складається з двох частин (простих або складних суджень). Перша частина імплікації є умовою (основою, антецедентом), а друга — наслідком (консеквентом). Оператор імплікації позначається символами “ ”, “→”: . В українській мові аналогами імплікації є парні сполучники “якщо..., то...”, “коли..., тоді...” тощо. У цілому імплікація буде хибною лише у тому разі, коли її умова буде представлена істинним судженням, а наслідок ‒хибним.

Таке тлумачення умовного зв’язку між судженнями певною мірою суперечить людській інтуїції (ми не звикли вважати істинними, наприклад, судження: “Якщо Житомир є столицею України, то 2+2=5”).  Окрім того, як видно з цього прикладу, частини імплікації можуть не містити спільних термінів і не пов’язуватися між собою за смислом, що також суперечить звичному розумінню сполучників: “якщо..., то...”, “коли..., тоді...” тощо. Але насправді суперечності тут немає, оскільки оператор матеріальної імплікації пов’язує між собою судження (як окремі цілісні думки) не за їх смисловим, а саме за їх матеріальним (істиннісним) значенням. Те, що таке тлумачення умовного зв’язку між судженнями має право на існування, підтверджується розвитком науки і техніки. Програмне забезпечення для комп’ютерів пишеться саме із використанням матеріальної імплікації.  Наведемо такий приклад матеріальної імплікації: “Якщо воду нагріти до 100 °С, то вона перетвориться на пару”. Очевидно, що може існувати ситуація, коли дійсності відповідатимуть і перша, і друга частини цього судження. Але не може бути ситуації (за умови нормального атмосферного тиску), коли ми нагріємо воду до 100 °С, а вона не перетвориться на пару. Зрозуміло, що вода може перетворитися на пару і в тому разі, коли її не нагрівати до 100 °С. Так само вода може і не перетворитися на пару в тому разі, якщо її не нагрівати до 100 °С. 

Формальним аналогом умовного висловлювання є релевантна імплікація, яка враховує змістовну єдність антецедента і консеквента. У межах релевантної імплікації неможливо стверджувати, що істинне висловлювання виводиться з будь-якого твердження, і що на підставі хибного висловлювання обґрунтується будь-яке висловлювання. Вираз "А релевантно імплікує висловлювання В" означає, що В міститься в А, тобто й інформація, яка міститься у В, є частиною інформації висловлювання А. Отже, А не може релевантно імплікувати В, якщо у В не входить хоча б одне із тих тверджень. Цей підхід вперше запропонували у 50-х роках XX ст. логіки А. Андерсон і Н. Белнап.

Коннексивна імплікація. Імплікація є коннексивною в тому випадку , коли її антецедент несумісний з протилежністю консеквента .

Теза Арістотеля імпліцитно використовує коннекивну імплікацію : не- р ніколи не імплікує р , оскільки не -р не є несумісним з не -р . Якщо р несумісне з не - q , тобто р коннексивно імплікує q , то р ніколи не буде несумісним із запереченням НЕ - q . Тобто НЕ буде вірним імплікування розчин не - q . Це і затверджується тезою Боеція .

«... Неможливо, щоб одне і те ж було потрібним і коли інше є і коли його немає: я маю на увазі, наприклад, що коли А біле, то необхідно, щоб В було велике, й що коли А не біле , то В також потрібно велике. У такому випадку, якщо В не велике, то і А не може бути білим. Якщо ж припустити, що В необхідно велике, коли А не біле, то з необхідністі випливає, що В велике, коли воно не велике, а це неможливо».

Отже, матеріальна імплікація ‒ одна з основних зв'язок класичної логіки. Визначається вона таким чином: імплікація помилкова тільки у випадку істинності антецедента і хибності консеквента і істинна у всіх інших випадках. Умовне висловлювання В «Якщо А, то ВВ» передбачає деяку реальну зв'язок між тим, про що йдеться в А і В; вираз В«А матеріально імпліцірует ВВ» такий зв'язки не передбачає. p align="justify"> Сувора імплікація визначається через модальне поняття (логічної) неможливості: В«А строго імплікує ВВ» означає В «Неможливо, щоб А було істинне, а В хибно В». p align="justify"> У релевантної логіці імплікація розуміється як умовний союз в його звичайному розумінні. У разі релевантної імплікація не можна сказати, що справжнє висловлювання може бути обгрунтовано шляхом посилання на будь-яке висловлювання і що за допомогою помилкового висловлювання можна обгрунтувати яке завгодно висловлювання.