4. Математическое обеспечение синтеза проектных решений

х>у+5. (4.32)

Распространение ограничения (4.31) на интервал переменного z приводит к умень-

шению его верхней границы, так как z < (хтх1+утгк)/5 = 40, а с учетом ограничения (4.32)

- к его новой корректировке z < 39, поскольку jmax= 95, а также к увеличению нижних

границ переменных х ну, так как решение неравенств х + у > 50 и (4.32) дает х>2В,у>22.

Таким образом, получено сужение допустимой области хе [28:100],^ е [22:95],ze [10:39].

Метод легко распространяется на задачи с нечисловыми параметрами. В

этом случае вместо сокращения числовых интервалов уменьшают мощности

допустимых подмножеств значений параметров.

Одним из практических приложений метода распространения ограничений

является поиск допустимых вариантов в множестве синтезируемых структур

при ограничениях типа (4.29) на совместимость элементов структуры.

Пример. Рассмотрим фрагмент структуры, состоящий из трех компонентов А, ВиС,

причем Л е {а,, а2, ау а4, а;}, В е {&,, Ь2, Ъу Ь4}, С е {с,, с2, с}}. Заданы списки допустимых

сочетаний компонентов в синтезируемой структуре:

L1: а,, Ь{; ау Ъ^ а4,Ь2, а5, Ь3; о5, £4;

L2: Ь}, с,; Ъу су й4, с,; Ь4, с2;

L3:a2, с3;а3, с2;а4, С3;а5,с2.

Сокращение первого списка выполняется путем поочередного выбора в нем а(, фик-

сации в L3 соответствующих значений ck, а затем в L2 сопряженных с ck значений b'. Если

в L1 имеется элемент a,, bj, то он сохраняется в сокращенном списке, остальные сочета-

ния с а из L1 удаляются. В нашем примере, поскольку значения я, в L3 нет, то сочетание

а,, и, недопустимо и из L1 удаляется. Далее для символа аг фиксируем в L3 значение су

ему в L2 соответствует только значение Ьу Поэтому а2, Ь, -также недопустимое сочета-

ние. Обработав подобным образом все списки, получаем результат распространения

ограничений в виде LI: a5,i>4;L2: 64,c2;L3: a},c2.

Следовательно, решение состоит из единственной допустимой структуры, включаю-

щей компоненты ау 64, с3.

В общем случае сокращение списков выполняется в итерационном процессе до со-

впадения их содержимого на двух последних итерациях.

На базе метода распространения ограничений компанией ILOG создан про-

граммный комплекс оптимизации и синтеза проектных решений, состоящий из

подсистем Solver, Configurator, Scheduler и др.

Эволюционные методы

Эволюционные методы (ЭМ) предназначены для поиска предпочтитель-

ных решений и основаны на статистическом подходе к исследованию ситуаций

и итерационном приближении к искомому состоянию систем.

В отличие от точных методов математического программирования ЭМ по-

зволяют находить решения, близкие к оптимальным, за приемлемое время, а в

отличие от известных эвристических методов оптимизации характеризуются

существенно меньшей зависимостью от особенностей приложения (т. е. более

универсальны) и в большинстве случаев обеспечивают лучшую степень при-

ближения к оптимальному решению. Универсальность ЭМ определяется так-

184

4 4 Методы структурного синтеза в системах автоматизированного проектирования

же применимостью к задачам с неметризуемым пространством управляемых

переменных (т. е. среди управляемых переменных могут быть и лингвисти-

ческие).

Важнейшим частным случаем ЭМ являются генетические методы и алго-

ритмы. Генетические алгоритмы основаны на поиске лучших решений с по-

мощью наследования и усиления полезных свойств множества объектов опре-

деленного приложения в процессе имитации их эволюции.

Свойства объектов представлены значениями параметров, объединяемы-

ми в запись, называемую в ЭМ хромосомой. В ГА оперируют хромосомами,

относящимися к множеству объектов — популяции. Имитация генетических

принципов — вероятностный выбор родителей среди членов популяции, скре-

щивание их хромосом, отбор потомков для включения в новые поколения объек-

тов на основе оценки целевой функции — ведет к эволюционному улучшению

значений целевой функции (функции полезности) от поколения к поколению.

Среди ЭМ находят применение также методы, которые в отличие от ГА

оперируют не множеством хромосом, а единственной хромосомой. Так, метод

дискретного локального поиска (его англоязычное название hillclimbing) осно-

ван на случайном изменении отдельных параметров (т. е. значений полей в

записи или, другими словами, значений генов в хромосоме). Такие изменения

называют мутациями. После очередной мутации оценивают значение функ-

ции полезности F (fitness function) и результат мутации сохраняется в хромо-

соме, только если F улучшилась. В другом ЭМ под названием «Моделирова-

ние отжига» (Simulated Annealing) результат мутации сохраняется с некоторой

вероятностью, зависящей от полученного значения F.

Постановка задачи поиска оптимальных решений

с помощью генетических алгоритмов

Для применения генетических алгоритмов необходимо:

1) выделить совокупность свойств объекта, характеризуемых внутренними

параметрами и влияющих на его полезность, т. е. выделить множество управ-

ляемых параметров X = (г,, х2, ..., хп); среди * могут быть величины различ-

ных типов (real, integer, Boolean, enumeration). Наличие нечисловых величин

(enumeration) обусловливает возможность решения задач не только парамет-

рической, но и структурной оптимизации;

2) сформулировать количественную оценку полезности вариантов объекта

— функцию полезности F. Если в исходном виде задача многокритериальна, то

такая формулировка означает выбор скалярного (обобщенного) критерия;

3) разработать математическую модель объекта, представляющую собой

алгоритм вычисления F для заданного вектора X;

4) представить вектор X в форме хромосомы — записи следующего вида:

х\ Х2

XT, хп

185

4. Математическое обеспечение синтеза проектных решений

В генетических алгоритмах используется такая терминология:

ген — управляемый параметр xt;

аллель — значение гена;

локус (позиция) — позиция, занимаемая геном в хромосоме;

генотип — экземпляр хромосомы, генотип представляет собой совокуп-

ность внутренних параметров проектируемого с помощью алгоритма объекта;

генофонд — множество всех возможных генотипов;

функция полезности (приспособленности) F — целевая функция;

фенотип — совокупность генотипа и соответствующего значения F, под

фенотипом часто понимают совокупность выходных параметров синтезируе-

мого с помощью ГА объекта.

Простой генетический алгоритм

Вычислительный процесс начинается с генерации исходного поколения —

множества, включающего N хромосом (N- размер популяции). Генерация вы-

полняется случайным выбором аллелей каждого гена.

Далее организуется циклический процесс смены поколений:

for (&=0; k<G;

{for(j=0;j<N;j++)

{Выбор родительской пары хромосом;

Кроссовер;

Мутации;

Оценка функции полезности F потомков;

Селекция;

}

Замена текущего поколения новым;

Для каждого витка внешнего цикла генетического алгоритма выполняется

внутренний цикл, на котором формируются экземпляры нового (следующего за

текущим) поколения. Во внутреннем цикле повторяются операторы выбора

родителей, кроссовера родительских хромосом, мутации, оценки приспособ-

ленности потомков, селекции хромосом для включения в очередное поколение.

Рассмотрим алгоритмы выполнения операторов в простом генетическом

алгоритме.

Выбор родителей. Этот оператор имитирует естественный отбор, если

отбор в родительскую пару хромосом с лучшими значениями функции полез-

ности F более вероятен. Например, пусть F требуется минимизировать. Тогда

вероятность Р выбора родителя с хромосомой С можно рассчитать по формуле

186

P=(F -F)/I,(F -F), (4.33) i v max i' *^ v max j'' v 1

.H