4. Математическое обеспечение синтеза проектных решений

Пусть имеется множество решений М, в котором нужно выбрать оптималь-

ный по критерию F(X ) вариант, где X — вектор параметров варианта т е М;

пусть также имеется алгоритм для вычисления нижней границы ДМ4) крите-

рия F(X'.) в любом подмножестве М^ множества М, т. е. такого значения i(Mt),

что F(X) > L(Mk) при любому (подразумевается минимизация F(X)). Тогда

основная схема решения задач в соответствии с методом ветвей и границ со-

держит следующие процедуры: 1) в качестве М^ принимаем все множество М;

2) Ветвление: разбиение ма на несколько подмножеств м ; 3) вычисление

нижних границ ЦМГ) в подмножествах М?; 4) выбор в качестве Mt подмно-

жества М с минимальным значением нижней границы критерия (среди всех

подмножеств, имеющихся на данном этапе вычислений), сведения об осталь-

ных подмножествах М? и их нижних границах сохраняются в отдельном спис-

ке; 5) если | MJ > 1, то переход к процедуре 2, иначе одноэлементное множе-

ство М^есть решение.

Метод ветвей и границ в случае точного вычисления нижних границ отно-

сится к точным методам решения задач выбора и потому в неблагоприятных

ситуациях может приводить к экспоненциальной временной сложности. Одна-

ко метод часто используют как приближенный, поскольку можно применять

приближенные алгоритмы вычисления нижних границ.

Среди других приближенных методов решения задачи ДМП отметим ме-

тод локальной оптимизации. Так как пространство D метризовано, то мож-

но использовать понятие я-окрестности 8о(Х4) текущей точки поиска \k. Вме-

сто перебора точек во всем пространстве D осуществляется перебор точек

только в So(Xt). Если F(X) > F(X.k) для всех X е 8я(Х4), то считается, что

найден локальный минимум целевой функции в точке Хг В противном случае

точку X , в которой достигается минимум F(X) в Sa(Xt), принимают в качестве

новой текущей точки поиска.

Элементы теории сложности

В теории сложности выделяют массовые и индивидуальные задачи. Пер-

вые из них сформулированы в общем виде, вторые представлены с конкретны-

ми числовыми значениями исходных данных. Исследования сложности прово-

дятся в отношении массовых задач, и получаемые выводы, как правило,

относятся к наихудшему случаю — к наиболее неблагоприятному возможному

сочетанию исходных данных.

Цель исследований — установление вида зависимости объема Q требуе-

мых вычислений от размера задачи N. Объем вычислений может определять-

ся числом арифметических и логических операций или затратами процессор-

ного времени ЭВМ с заданной производительностью. Размер задачи в общем

случае связывают с объемом описания задачи, но в приложениях понятие раз-

мера легко наполняется более конкретным содержанием.

Далее, в теории сложности задач выбора вводят понятия эффективных и

неэффективных алгоритмов. К эффективным относят алгоритмы с полино-

180

4.4. Методы структурного синтеза в системах автоматизированного проектирования

Таблица 4.1

Q(N)

N

N2

N3

2"

Б,

NI

N2

N3

N4

Б2=100Б,

100 NI

10 N2

4,647/э

6,64 + Я,

53=10006,

ЮООЛГ,

31,6 N2

10 N3

9,97 + N4

миальной зависимостью Q onN, например, алгоритмы с функцией Q (N) линей-

ной, квадратичной, кубической и др. Для неэффективных алгоритмов харак-

терна экспоненциальная зависимость Q (N).

Важность проведения резкой границы между полиномиальными и экспонен-

циальными алгоритмами вытекает из сопоставления числовых примеров рос-

та допустимого размера задачи с увеличением быстродействия Б используе-

мых ЭВМ (табл. 4.1, в которой указаны размеры задач, решаемых за одно и то

же время Т на ЭВМ с быстродействием Б; при различных зависимостях слож-

ности Q от размера N). Эти примеры показывают, что выбирая ЭВМ в К раз

более быстродействующую, получаем увеличение размера решаемых задач

при линейных алгоритмах в К раз, при квадратичных алгоритмах в К1'2 раз и т. д.

Иначе обстоит дело с неэффективными алгоритмами. Так, в случае слож-

ности 2" для одного и того же процессорного времени размер задачи увеличи-

вается только на \gK I Ig2 единиц. Следовательно, переходя от ЭВМ с Б = 1

Гфлопс к суперЭВМ с Б = 1 Тфлопс, можно увеличить размер решаемой зада-

чи только на 10, что совершенно недостаточно для практических задач. Дей-

ствительно, в таких задачах, как, например, синтез тестов для БИС, число вход-

ных двоичных переменных может составлять более 100 и поэтому полный

перебор всех возможных проверяющих кодов потребует выполнения более 2100

вариантов моделирования схемы.

В теории сложности все комбинаторные задачи разделены на классы:

• класс неразрешимых задач, в него входят массовые задачи, решение ко-

торых полным перебором принципиально невозможно с точки зрения совре-

менных научных представлений; этот класс отделяется от других задач так

называемым пределом Бреммермана, оцениваемым величиной N= 1093; отме-

тим, что реальный предел неразрешимости значительно ниже;

• класс Р, к нему относятся задачи, для которых известны алгоритмы реше-

ния полиномиальной сложности;

• класс NP, включающий задачи, для которых можно за полиномиальное

время проверить правильность решения, т. е. ответить на вопрос, удовлетворя-

ет ли данное решение заданным условиям; очевидно, что Р включено в NP, од-

181