2) Для метода внешней точки при таких же ограничениях

= Z(mm{0,<p/X)})2,

1=1

здесь штраф сводится к включению в Ф(Х)

суммы квадратов активных (т. е. нарушен-

ных) ограничений;

3) В случае ограничений типа равенств

S(X)=Z(vi/,(X))2.

1=1

Чем больше коэффициент г, тем точнее

решение задачи, однако при больших г мо-

жет ухудшаться ее обусловленность. Поэто-

му в начале поиска обычно выбирают уме-

ренные значения г, увеличивая их в окрест-

ностях экстремума.

Допустимая

область

Рис. 4.10. Ситуация появления

барьера в простейшем

одномерном случае

167

4. Математическое обеспечение синтеза проектных решений

Основной вариант метода проекции градиента ориентирован на задачи

математического программирования с ограничениями типа равенств.

Поиск при выполнении ограничений осуществляется в подпространстве

(п - т) измерений, где п - число управляемых параметров, т - число ограни-

чений, при этом движение осуществляется в направлении проекции градиента

целевой функции F(X) на гиперплоскость, касательную к гиперповерхности ог-

раничений (точнее к гиперповерхности пересечения гиперповерхностей огра-

ничений).

Поиск минимума начинают со спуска из исходной точки на гиперповерх-

ность ограничений. Далее выполняют шаг в указанном выше направлении (шаг

вдоль гиперповерхности ограничений). Поскольку этот шаг может привести к

заметному нарушению ограничений, вновь повторяют спуск на гиперповерх-

ность ограничений и т. д. Другими словами, поиск заключается в выполнении

пар шагов, каждая пара включает спуск на гиперповерхность ограничений и

движение вдоль гиперповерхности ограничений.

Идею метода легко пояснить для случая поиска в 2В-пространстве при од-

ном ограничении у(Х) = 0. На рис. 4.11 это ограничение представлено жирной

линией, а целевая функция - совокупностью более тонких линий равного уров-

ня. Спуск обычно осуществляют по нормали к гиперповерхности ограничений

(в данном случае к линии ограничения). Условие окончания поиска основано на

сопоставлении значений целевой функции в двух последовательных точках,

получаемых после спуска на гиперповерхность ограничений.

Рассмотрим вопрос, касающийся получения аналитических выражений для

направлений спуска и движения вдоль гиперповерхности ограничений.

Рис. 4.11. Траектория поиска в соответствии с методом проекции градиента:

Э - условный экстремум; 0,1,2,..., 7 - точки на траектории поиска

168

4.2. Обзор методов оптимизации

Спуск. Необходимо из текущей точки поиска В попасть в точку А, являю-

щуюся ближайшей к В точкой на гиперповерхности ограничений, т. е. решить

задачу

min |В - А|

при условии х|/(Х) = 0, которое после линеаризации в окрестностях точки В име-

ет вид

\|/(В) + (grad у(В))т(А - В) = 0.

Используя метод множителей Лагранжа, обозначая А-В = U и учитывая,

что минимизация расстояния равнозначна минимизации скалярного произведе-

ния U на U, запишем

Ф(А) = UTU + Л(\|/(В) + (grad X|/(B))TU);

ЗФ/ЭА = 2U + ?i(grad \|/(B)) = 0; (4.21)

еФ/аХ = \[/(В) + (grad y(B))TU = 0. (4.22)

Тогда из (4.2 1) получаем выражение

U = -0,5A.(grad\|/(B)).

Подставляя его в (4.22), имеем

\у(В) - 0,5X(grad v|/(B))T grad \j/(B) = 0,

откуда

A. = (2(grad v|/(B))Tgrad ч/(В)»(В).

Окончательно, подставляя X, в (4.21), находим

U = - grad vKB)(grad vj/(B))T

grad \КВ)Г' V(B).

Движение вдоль гиперповерхности ограничений. Шаг в гиперплос-

кости D, касательной к гиперповерхности ограничений, следует сделать в на-

правлении вектора S, на котором целевая функция уменьшается в наибольшей

мере при заданном шаге h. Уменьшение целевой функции при переходе из точ-

ки А в новую точку С подсчитывают, используя формулу линеаризации F(X) в

окрестностях точки А:

F(C) - F(A) =

здесь grad F(A)TS - приращение /XX), которое нужно минимизировать, варьи-

руя направления S:

min F(C) = min ((grad F(A))T S), (4.23)

где вариация S осуществляется в пределах гиперплоскости D; gradv|/(A) и

S - ортогональные векторы. Следовательно, минимизацию (4.23) необходимо

выполнять при ограничениях

(grad ij/(A))TS = 0,

STS=1.

169