4.2. Обзор методов оптимизации

В методе переменной метрики вместо трудно вычисляемой обратной мат-

рицы Гессе используют некоторую более легко вычисляемую матрицу N, т. е.

' Xw=Xt+N grad /KXt).

Введем обозначения:

dg4= grad *10д- grad

Е - единичная матрица. Начальное значение матрицы N0= Е. Матрицу N кор-

ректируют на каждом шаге, т. е.

где

Поэтому

LA-IB,.

i-O /=0

Можно показать, что А, стремится к Г"1, В(- к Е при k—>n, где п - размер-

ность пространства управляемых параметров. Спустя п шагов нужно снова

начинать с N _,_ , = Е. И + 1

Необходимые условия экстремума

В задачах безусловной оптимизации необходимые условия представляют

собой равенство нулю градиента целевой функции

grad F(X) = 0.

В общей задаче математического программирования (4.1) необходимые

условия экстремума, называемые условиями Куна - Таккера, формулируют-

ся следующим образом.

Для того чтобы точка Э была экстремальной точкой выпуклой задачи ма-

тематического программирования (ЗМП), необходимо наличие неотрицатель-

ных коэффициентов м(, таких, что

иф,(Э) = 0, / = 1, 2, ..., т, (4.17)

и соблюдение при этом ограничений задачи, а также выполнение условия

grad F(3) + Z и grad Ф,(Э) + Z а ш (Э) = 0, (4.18)

/=! у=1

где т - число ограничений типа неравенств; L- то же типа равенств; а > 0 -

коэффициенты.

165

4. Математическое обеспечение синтеза проектных решений

Рис. 4.9. К пояснению условий Куна - Таккера

За приведенной абстрактной формулировкой условий скрывается достаточ-

но просто понимаемый геометрический смысл. Действительно, рассмотрим

сначала случай с ограничениями только типа неравенств. Если максимум на-

ходится внутри допустимой области R, то, выбирая все и = 0, добиваемся вы-

полнения (4.17); если же точка максимума Э лежит на границе области R, то,

как видно из левой части рис. 4.9, эту точку всегда соответствующим подбо-

ром неотрицательных ut можно поместить внутрь оболочки, натя!гутой на гра-

диенты целевой функции ДХ) и функций-ограничений ф,(Х). Наоборот, если

точка не является экстремальной, то (4.17) нельзя выполнить при любом вы-

боре положительных коэффициентов и (см. правую часть рис. 4.9, где рас-

сматриваемая точка X лежит вне выпуклой оболочки, натянутой на градиен-

ты). Учет ограничений типа равенств очевиден, если добавляется последняя

из указанных в (4. 18) сумма.

Методы поиска условных экстремумов

Широко _______известен метод множителей Лагранжа, ориентированный на по-

иск экстремума при наличии ограничений типа равенств vj/(X) = 0, т. е. на реше-

ние задачи

extr FX), (4.19)

XeR

гдеК={Х|ч/(Х) = 0}.

Суть метода заключается в преобразовании задачи условной оптимизации

(4.19) в задачу безусловной оптимизации с помощью образования новой целе-

вой функции

где L = (А,,, Х-2, "ky ..., A,L) - вектор множителей Лагранжа; L - число ограничений.

Необходимые условия экстремума функции Ф(Х):

5Ф(Х,Ь)/5Х = дР(Х)1дХ + I X, дч,(Х)/дХ = 0;

5Ф(Х, D/SL = \|/ (X) = 0.

(4.20)

166

4 2 Обзор методов оптимизации

Система (4.20) содержит п + L алгебраических уравнений, где п - размер-

ность пространства управляемых параметров, ее решение дает искомые коор-

динаты экстремальной точки и значения множителей Лагранжа. Однако при

численном решении (4.20), что имеет место при использовании алгоритмичес-

ких моделей, возникают те же трудности, что и в методе Ньютона. Поэтому в

САПР основными методами решения ЗМП являются методы штрафных фун-

кций и проекции градиента.

Важная идея методов штрафных функций - преобразование задачи ус-

ловной оптимизации в задачу безусловной оптимизации путем формирования

новой целевой функции Ф(Х), за счет введения в исходную целевую функцию

F(X) специальным образом выбранной функции штрафа 5(Х):

где г - множитель, значение которого можно изменять в процессе оптимизации.

Среди методов штрафных функций различают методы внутренней и внеш-

ней точки. Согласно методам внутренней точки (иначе называемым метода-

ми барьерных функции), исходную для поиска точку можно выбирать только

внутри допустимой области, а для методов внешней точки - как внутри, так и

вне допустимой области (важно лишь, чтобы в ней функции целевая и ограни-

чений были определены). Ситуация появления барьера у целевой функции Ф(х)

и соотношение между условным в точке х2 и безусловным в точке я, миниму-

мами F(x) в простейшем одномерном случае иллюстрируется рис. 4.10.

Примеры штрафных функций:

1) для метода внутренней точки при ограничениях ф((Х) > О

где т - число ограничений типа неравенств;