4. Математическое обеспечение синтеза проектных решений

Аддитивный критерий объединяет (свертывает) все выходные парамет-

ры (частные критерии) в одну целевую функцию, представляющую собой взве-

шенную сумму частных критериев

F(X) = со ^(Х), (4.2)

где со — весовой коэффициент; т — число выходных параметров. Функция (4.2)

подлежит минимизации, при этом если условие работоспособности имеет вид

•у '>j Тj , то соj < 0.

Недостатки аддитивного критерия — субъективный подход к выбору весо-

вых коэффициентов и неучет требований ТЗ. Действительно, в (4.2) не входят

нормы выходных параметров.

Аналогичные недостатки присущи и мультипликативному критерию, целе-

вая функция которого имеет вид

ДХ)=Д^(Х). (4.3)

Нетрудно видеть, что если прологарифмировать (4.3), то мультипликатив-

ный критерий превращается в аддитивный.

Более предпочтительным является максиминный критерий, в качестве

целевой функции которого принимают выходной параметр, наиболее неблаго-

получный с позиций выполнения условий работоспособности. Для оценки сте-

пени выполнения условия работоспособности у'-го выходного параметра вво-

дят запас работоспособности этого параметра S и этот запас можно

рассматривать как нормированный у'-й выходной параметр. Например (здесь и

далее для лаконичности изложения предполагается, что все выходные пара-

метры приведены к виду, при котором условия работоспособности становятся

неравенствами в форме у < Т ):

J S = (T-yj)IT,

или

S = (T-y )/8, J V 1 J НОМ J' J>

где уном — номинальное значение, а 5 — некоторая характеристика рассеяния

у'-го выходного параметра, например, трехсигмовый допуск. Тогда целевая фун-

кция в максиминном критерии есть

Здесь запись [1: т] означает множество целых чисел в диапазоне от 1 до т.

Задача (4.1) при максиминном критерии конкретизируется следующим обра-

зом:

F(X) = max min S (X), (4.4)

XeDx у6[1 т] '

156

4.2. Обзор методов оптимизации

где допустимая область D^ определяется только прямыми ограничениями на

управляемые параметры х:

Область

работо-

способности

.опусковая

область

О

Рис. 4.2. Области допусковая и

работоспособности

Задачи оптимизации с учетом допусков

Содержательную сторону оптимизации с

учетом допусков поясняет рис. 4.2, на котором

представлены области работоспособности и

допусковая в двумерном пространстве управ-

ляемых параметров. Если собственно допус-

ки заданы и не относятся к управляемым

параметрам, то цель оптимизации — макси-

мальным образом совместить эти области так,

чтобы вероятность выхода за пределы облас-

ти работоспособности была минимальной.

Решение этой задачи исключительно трудо-

емко, так как на каждом шаге оптимизации

нужно выполнять оценку упомянутой вероят-

ности методами статистического анализа, а для сложных моделей объектов

таким методом является метод статистических испытаний. Поэтому на прак-

тике подобные задачи решают, принимая те или иные допущения.

Например, если допустить, что цель оптимизации достигается при совме-

щении центров областей работоспособности Э и допусковой Хном, то оптимиза-

ция сводится к задаче центрирования, т. е. к определению центра Э. Задачу

центрирования обычно решают путем предварительного нормирования управ-

ляемых параметров jc( с последующим вписыванием гиперкуба с максимально

возможными размерами в нормированную область работоспособности.

Примечание. Нормирование проводят таким образом, что допусковая область

приобретает форму гиперкуба, получающегося после нормирования.

Очевидно, что решение задачи центрирования позволяет не только оптими-

зировать номинальные значения проектных параметров, но и их допуски, если

последние относятся к управляемым параметрам.