1) Модель есть список граней, каждая грань представлена упорядоченным

списком вершин (циклом вершин); эта форма характеризуется значительной

избыточностью, так как каждая вершина повторяется в нескольких списках;

2) Модель есть список ребер, для каждого ребра заданы инцидентные вер-

шины и грани.

146

3. 7. Математическое обеспечение подсистем машинной графики

Однако аппроксимация полигональными сетками при боль-

ших размерах ячеек сетки дает заметные искажения фор-

мы, а при малых размерах ячеек оказывается неэффектив-

ной по вычислительным затратам. Поэтому более популярны

описания негогоских поверхностей кубическими уравнения-

ми в форме Безье или 5-сплайнов.

Знакомство с этими формами удобно выполнить, показав рнс 3.27. Кривая

их применение для описания геометрических объектов пер- Безье

вого уровня — пространственных кривых.

Примечание. Геометрическими объектами нулевого, первого и второго уровней

называют соответственно точки, кривые, поверхности.

В подсистемах МГиГМ используются параметрически задаваемые кубичес-

кие кривые

x(t) = axt3 + bxt2 + cxt + dx ;

y(t) = ay t3 +X by t2 + cy t + dy ; (3.48)

z(t) = a.t3 + b_t2 + cj + d_,

где 1 > t > 0. Такими кривыми описывают сегменты аппроксимируемой кри-

вой, т. е. аппроксимируемую кривую разбивают на сегменты и каждый сегмент

аппроксимируют уравнениями (3.48).

Применение кубических кривых обеспечивает (соответствующим выбором

четырех коэффициентов в каждом из трех уравнений) выполнение четырех

условий сопряжения сегментов. В случае кривых Безье этими условиями явля-

ются прохождение кривой сегмента через две заданные концевые точки и ра-

венство в этих точках касательных векторов соседних сегментов. В случае

5-сплайнов выполняются условия непрерывности касательного вектора и кри-

визны (т. е. первой и второй производных) в двух концевых точках, что обеспе-

чивает высокую степень «гладкости» кривой, хотя прохождение аппроксимиру-

ющей кривой через заданные точки здесь не обеспечивается. Применение

полиномов выше третьей степени не рекомендуется, так как велика вероят-

ность появления «волнистости».

В случае формы Безье коэффициенты в (3.48) определяются, во-первых,

подстановкой в (3.48) значений (=0к(=1и координат заданных концевых то-

чек Р, и Р4 соответственно, во-вторых, подстановкой в выражения производных

dx/dt = За t2 + 2b + с , X X х'

dy/dt = За, Г2 + 2byt + с ,

dz/dt = 3a.t2 + 2b.t + с.

тех же значений / = 0 и / = 1 и координат точек Р2 и Р3, задающих направления

касательных векторов (рис. 3.27). В результате для формы Безье получаем

(3.49)

147

3. Математическое обеспечение анализа проектных решений

Т а б л и ц а 3.11 Т а б л и ц а 3.12

-1

3

-31

3

-6

3

0

-3

3

0

0

1

0

0

0

-1/6

1/2

-1/2

1/6

1/2

_j

0

2/3

-1/2

1/2

1/2

1/6

1/6

0

0

0

где Тт = (/3, t2, t, 1) — вектор-строка, матрица М представлена в табл. 3.11,

G^ — вектор координат Pxi точек Р,, Р2, Р3и Р4, аналогично Gy, G,— векторы

координат Р „ Р. , тех же точек.

В случае 5-сплайнов аппроксимируемая кривая делится на п участков, выде-

ляемых последовательными точками Р0, Р,, Р2, ..., Ри. Участок между парой

соседних точек Р( и Р[+] аппроксимируется ^-сплайном, построенным с исполь-

зованием четырех точек Р,.,, Р„ Р,+ ,, Р, + 2. 5-сплайн на участке [Р(, Pj+1] может

быть представлен выражениями, аналогичными (3.49),

для которых матрица М имеет иной вид и представлена в табл. 3.12, а векто-

ры Gx, G^, G. содержат соответствующие координаты точек Р,_1; Р„ Р, + 1, Р, + 2.

Покажем, что в точках сопряжения для первой и второй производных аппроксими-

рующего выражения выполняются условия непрерывности, что требуется по определе-

нию В-сплайна. Обозначим участок аппроксимирующего В-сплайна, соответствующий

участку [Р , Р +1] исходной кривой, через [Q(, Q, + ]]. Тогда для этого участка и координаты

х в точке сопряжения Q/+ , имеем t = 1 и

dX(t)ldt\t__ , = [3t\ 2t, 1, 0] М [*_„*, *+|, xi+2F= [3, 2, 1 , 0] М [х,_„ х, , xi+], x+2]T= (хм-х)П;

d2x(t)ldt\^ = [6t, 2, 0, 0] М [х^х^х^х^- [6,2, 0, 0] М [*,_,,*, ,х+„х+2]т=х -2х„+хм

Для участка [Q|+1 Qi+2] в той же точке Qi+| имеем t = 0 и

0 = [0, 0, 1,0] М [х„х^,хм,х^=(хм-хУ2;

Uo = [0. 2, 0, 0] М [ х> „ xi+],xi+2, xi+3] т= х - 2 х, +1+ х, +р

т. е. равенство производных в точке сопряжения на соседних участках подтверждает

непрерывность касательного вектора и кривизны. Естественно, что значение х

координаты х точки Qi+1 аппроксимирующей кривой на участке [Q^ QI+1]

= [1, 1, 1, 1] М 4x

равно значению х , подсчитанному для той же точки на участке [Qi+1 Q,+2], но значения

координат узловых точек х и х+] аппроксимирующей и аппроксимируемой кривых не

совпадают.

Аналогично можно получить выражения для форм Безье и 5-сплайнов

применительно к поверхностям с учетом того, что вместо (3.48) используются

кубические зависимости от двух переменных.

148