3. Математическое обеспечение анализа проектных решений

Рис. 3.25. Сеть Петри и ее граф достижимости (к примеру 1)

Рис. 3.26. Сеть Петри и ее граф достижимости (к примеру 2)

один и тот же подграф независимо от того, из какого состояния система при-

шла в Mt). Тупики обнаруживаются по отсутствию разрешенных переходов из

какой-либо вершины, т. е. по наличию листьев — терминальных вершин. Нео-

граниченный рост числа маркеров в какой-либо позиции свидетельствует о на-

рушениях ограниченности.

Приведем примеры анализа достижимости.

Пример 1. Сеть Петри и граф достижимых разметок представлены на рис. 3.25.

На рисунке вершины графа изображены в виде маркировок, дуги помечены сраба-

тывающими переходами. Сеть является неограниченной и живой, так как метки могут

накапливаться в позиции рь, срабатывают все переходы, тупики отсутствуют.

Пример 2. Сеть Петри и граф достижимых разметок представлены на рис. 3.26.

Сеть, моделирующая двухпроцессорную вычислительную систему с общей памя-

тью, является безопасной, живой, все разметки достижимы.

3.7. Математическое обеспечение подсистем

машинной графики и геометрического моделирования

Компоненты математического обеспечения

Подсистемы машинной графики и геометрического моделирования (МГиГМ)

занимают центральное место в машиностроительных САПР-К. Конструирова-

ние изделий в них, как правило, проводится в интерактивном режиме при опе-

144

3 7 Математическое обеспечение подсистем машинной графики

рировании геометрическими моделями, т. е. математическими объектами, отоб-

ражающими форму деталей, состав сборочных узлов и возможно некоторые

дополнительные параметры (масса, момент инерции, цвета поверхности и т. п.).

В подсистемах МГиГМ типичный маршрут обработки данных включает в

себя получение проектного решения в прикладной программе, его представле-

ние в виде геометрической модели (геометрическое моделирование), подго-

товку проектного решения к визуализации, собственно визуализацию в аппара-

туре рабочей станции и при необходимости корректировку решения в

интерактивном режиме. Две последние операции реализуются на базе аппа-

ратных средств машинной графики. Когда говорят о математическом обеспе-

чении МГиГМ, имеют в виду прежде всего модели, методы и алгоритмы для

геометрического моделирования и подготовки к визуализации. При этом часто

именно МО подготовки к визуализации называют МО машинной графики.

Различают МО двумерного (2D) и трехмерного (3.D) моделирования. Ос-

новные применения 2£)-графики - подготовка чертежной документации в ма-

шиностроительных САПР, топологическое проектирование печатных плат и

кристаллов БИС в САПР электронной промышленности. В развитых машино-

строительных САПР используют как 2D-, так и 31)-моделирование для син-

теза конструкций, представления траекторий рабочих органов станков при

обработке заготовок, генерации сетки конечных элементов при анализе проч-

ности и т. п.

В 31)-моделировании различают каркасные (проволочные), поверхностные,

объемные (твердотельные) модели.

Каркасная модель представляет собой форму детали в виде конечного

множества линий, лежащих на поверхностях детали. Для каждой линии извест-

ны координаты концевых точек и указана их инцидентность ребрам или повер-

хностям. Оперировать каркасной моделью на дальнейших операциях маршру-

тов проектирования неудобно, и поэтому каркасные модели в настоящее время

используют редко.

Поверхностная ____________модель отображает форму детали с помощью задания огра-

ничивающих ее поверхностей, например, в виде совокупности данных о гранях,

ребрах и вершинах.

Особое место занимают модели деталей с поверхностями сложной формы,

так называемыми скульптурными поверхностями. К таким деталям относятся

корпуса многих транспортных средств (например, судов, автомобилей), дета-

ли, обтекаемые потоками жидкостей и газов (лопатки турбин, крылья само-

летов), и др.

Объемные модели отличаются тем, что в них в явной форме содержатся

сведения о принадлежности элементов внутреннему или внешнему по отношению

к детали пространству.

В настоящее время применяют следующие подходы к построению геомет-

рических моделей.

1. Задание граничных элементов — граней, ребер, вершин.

145

3. Математическое обеспечение анализа проектных решений

2. Кинематический метод, согласно которому задают двумерный контур и

траекторию его перемещения; след от перемещения контура принимают в ка-

честве поверхности детали.

3. Позиционный подход, в соответствии с которым рассматриваемое про-

странство разбивают на ячейки (позиции) и деталь задают указанием ячеек,

принадлежащих детали; очевидна громоздкость этого подхода.

4. Представление сложной детали в виде совокупностей базовых элементов

формы (БЭФ) и выполняемых над ними теоретико-множественных операций.

К БЭФ относятся заранее разработанные модели простых тел, это в первую

очередь модели параллелепипеда, цилиндра, сферы, призмы. Типичными теоре-

тико-множественными операциями являются объединение, пересечение, раз-

ность. Например, модель плиты с отверстием в ней может быть получена вычи-

танием цилиндра из параллелепипеда.

Метод на основе БЭФ часто называют методом конструктивной геомет-

рии. Это основной способ конструирования сборочных узлов в современных

САПР-К.

В памяти ЭВМ рассмотренные модели обычно хранятся в векторной фор-

ме, т. е. в виде координат совокупности точек, задающих элементы модели.

Операции конструирования также выполняются над моделями в векторной фор-

ме. Наиболее компактна модель в виде совокупности связанных БЭФ, которая

преимущественно и используется для хранения и обработки информации об

изделиях в системах конструктивной геометрии.

Однако для визуализации в современных рабочих станциях в связи с ис-

пользованием в них растровых дисплеев необходима растризация — преобра-

зование модели в растровую форму. Обратную операцию перехода к векторной

форме, которая характеризуется меньшими затратами памяти, называют век-

торизацией. В частности, векторизация должна выполняться по отношению к

данным, получаемым сканированием изображений в устройствах автомати-

ческого ввода.

Геометрические модели

Важной составной частью геометрических моделей является описание по-

верхностей. Если поверхности детали — плоские грани, то модель может быть

выражена достаточно просто определенной информацией о гранях, ребрах, вер-

шинах детали. При этом обычно используется метод конструктивной геомет-

рии. Представление с помощью плоских граней имеет место и в случае более

сложных поверхностей, если эти поверхности аппроксимировать множества-

ми плоских участков — полигональными сетками. Тогда можно поверхностную

модель задать одной из следующих форм: