3 Математическое обеспечение анализа проектных решений

т. е.

где Р — финальные вероятности.

Пример аналитической модели

Примером СМО, к которой можно применить аналитические методы иссле-

дования, является одноканальная СМО с простейшим входным потоком интен-

сивностью А и длительностью обслуживания, подчиняющейся экспоненциаль-

ному закону обслуживания интенсивностью ц. Для этой СМО нужно получить

аналитические зависимости среднего числа NW заявок, находящихся в системе,

среднюю длину Qm очереди к ОА, время Tw пребывания заявки в системе,

время Тт ожидания в очереди.

На рис. 3.18 представлен граф состояний рассматриваемой СМО, где Sk —

состояние с k заявками в системе. Матрица интенсивностей представлена в

табл. ЗЛО. Уравнения Колмогорова для установившегося режима имеют вид

Используя уравнения Колмогорова, можно выразить все Р р i= 1,2,3,..., через

Р0. Получим

Р^Щц^аР^

Р2= ((А + ц)/», - АР0)/ц = (1 + я)Р, - аР0 = <ЛР0;

Р3= (1 + а)Р2 - aPt = а2Р}= с?Р0 и т. д.

Здесь введено обозначение я = А. /ц. Отметим также, что установившийся ре-

жим возможен только при а < 1.

Так как S Р = 1, то Р = 1/(1 + а + а2+а3+...) =1-а.

Рис. 3.18. Граф состояний

130

3.6. Математическое обеспечение анализа на системном уровне

Т а б л и ц а 3.10

Состояние

So

Si

5г

Si

S*

So

-К

Д

0

0

0

Si

к

-Х.-Д

Ц0

0

S2

0

к

-Х-ц

ц

0

5з

0

0

к

-Х- ц

ц

S4

0

0

0

А.

-Х-ц

Теперь нетрудно получить и остальные требуемые результаты:

Nm - Z Pkk = Р,+ 2Р2+ ЗР3 + ... = а(\ - а\\

- а);

= Р2 + 2Р3 ... = Z (k- \)Pk = Р^

Времена пребывания в системе и очереди определяются соотношениями:

и

N = ^Т av av

2av=^

которые называют формулами Литтла:

Имитационное моделирование СМО

Для представления имитационных моделей можно использовать языки про-

граммирования общего применения, однако такие представления оказываются

довольно громоздкими. Поэтому обычно используют специальные языки имита-

ционного моделирования на системном уровне. Среди языков имитационного

моделирования различают языки, ориентированные на описание событий,

средств обслуживания или маршрутов движения заявок (процессов). Выбор

языка моделирования определяет структуру модели и методику ее построения.

Ориентация на устройства характерна для функционально-логического и бо-

лее детальных иерархических уровней описания объектов.

Для описания имитационных моделей на системном уровне (иногда их на-

зывают сетевыми имитационными моделями — СИМ) чаще используют

языки, ориентированные на события или процессы. Примерами первых могут

служить языки Симскрипт, SMPL и ряд других. К числу вторых относятся язы-

ки Симула, SOL, а также популярный язык GPSS.

Языки имитационного моделирования реализуются в программно-методи-

ческих комплексах моделирования СМО, имеющих ту или иную степень специа-

лизации. Так, комплексы на базе языка GPSS можно использовать во многих

приложениях, но есть специализированные комплексы для моделирования вы-

числительных сетей, систем управления предприятиями и т. п.

5- 131

3. Математическое обеспечение анализа проектных решений

При использовании языков, ориентированных на процессы, в составе СИМ

выделяются элементарные части и ими могут быть источники входных пото-

ков заявок, устройства, накопители и узлы.

Источник входного потока заявок представляет собой алгоритм, в соответ-

ствии с которым вычисляются моменты tk появления заявок на выходе источ-

ника. Источники могут быть зависимыми и независимыми. В зависимых ис-

точниках моменты появления заявок связаны с наступлением определенных

событий, например с приходом другой заявки на вход некоторого устройства.

Типичным независимым источником является алгоритм выработки значений tk

случайной величины с заданным законом распределения.

Устройства в имитационной модели представлены алгоритмами выработки

значений интервалов (длительностей) обслуживания. Чаще всего это алгоритмы

генерации значений случайных величин с заданным законом распределения.

Но могут быть устройства с детерминированным временем обслуживания или

временем, определяемым событиями в других частях СИМ. Модель устройства

отображает также заданную дисциплину обслуживания, поскольку в модель

входит алгоритм, управляющий очередями на входах устройства.

Накопители моделируются алгоритмами определения объемов памяти,

занимаемых заявками, приходящими на вход накопителя. Обычно объем памя-

ти, занимаемый заявкой, вычисляется как значение случайной величины, за-

кон и (или) числовые характеристики распределения могут зависеть от типа

заявки.

Узлы выполняют связующие, управляющие и вспомогательные функции в

имитационной модели, например, для выбора направлений движения заявок в

СИМ, изменения их параметров и приоритета, разделения заявок на части, их

объединения и т. п.

Обычно каждому типу элементарной модели, за исключением лишь неко-

торых узлов, в программной системе соответствует определенная процедура

(подпрограмма). Тогда СИМ можно представить как алгоритм, состоящий из

упорядоченных обращений к этим процедурам, отражающим поведение моде-

лируемой системы.

В процессе моделирования происходят изменения модельного времени, кото-

рое чаще всего принимается дискретным, измеряемым в тактах. Время изме-

няется после того, как закончена имитация очередной группы событий, относя-

щихся к текущему моменту времени tk. Имитация сопровождается накоплением

в отдельном файле статистики таких данных, как количества заявок, вышедших

из системы обслуженными и необслуженными, суммарное время занятого

состояния для каждого из устройств, средние длины очередей и т. п. Имита-

ция заканчивается, когда текущее время превысит заданный отрезок времени

или когда входные источники выработают заданное число заявок. После это-

го производят обработку накопленных в файле статистики данных, что позво-

ляет получить значения требуемых выходных параметров.

132