3. Математическое обеспечение анализа проектных решений

Аналитические модели СМО

Как отмечено выше, аналитические модели СМО удается получить при

довольно серьезных допущениях. К числу типичных допущений относятся сле-

дующие.

Во-первых, как правило, считают, что в СМО используются бесприоритетные

дисциплины обслуживания типа FIFO.

Во-вторых, времена обслуживания заявок в устройствах выбираются в соот-

ветствии с экспоненциальным законом распределения.

В-третьих, в аналитических моделях СМО входные потоки заявок аппрокси-

мируются простейшими потоками, т. е. потоками, обладающими свойствами

стационарности, ординарности (невозможности одновременного поступления

двух заявок на вход СМО), отсутствия последействия.

В большинстве случаев модели СМО отображают процессы с конечным

множеством состояний и с отсутствием последействия. Такие процессы назы-

вают конечными марковскими цепями.

Марковские цепи характеризуются множеством состояний S, матрицей ве-

роятностей переходов из одного состояния в другое и начальными условиями

(начальным состоянием). Удобно представлять марковскую цепь в виде графа,

в котором вершины соответствуют состояниям цепи, дуги — переходам, веса

дуг — вероятностям переходов (если время дискретно) или интенсивностям

переходов (если время непрерывно).

Отметим, что интенсивностью перехода называют величину F =limP (*,)/*,

при (г —> 0, где Р{ (fj) - вероятность перехода из состояния St в состояние S за

время tr Обычно используют условие

м и'

что эквивалентно

(3.44)

где N—число состояний. На рис. 3.17 приведен пример марковской цепи в ви-

де графа с состояниями б1,,..., S4, а в табл. 3.9 представлена матрица интенсив-

ностей переходов для этого примера.

Т а б л и ц а 3.9

Состояние

5i

Si

5з

54

Si

-Ki2-Ki3-Ki4

V21

0

0

52

Vu

-Vi\

0

K42

5з

Vn

0

-F34

0

54

Км

0

F34

-F42

128

3 6 Математическое обеспечение анализа на системном уровне

Большинство выходных параметров СМО

можно определить, используя информацию о по-

ведении СМО, т. е. информацию о состояниях

СМО в установившихся (стационарных) режи-

мах и об их изменениях в переходных процес-

сах. Эта информация имеет вероятностную при-

роду, что обусловливает описание поведения Рис. 3.17. Пример

СМО в терминах вероятностей нахождения сие- марковской цепи

темы в различных состояниях. Основой такого описания, а следовательно, и

многих аналитических моделей СМО являются уравнения Колмогорова.

Уравнения Колмогорова можно получить следующим образом.

Изменение вероятности Р нахождения системы в состоянии St за время t}

есть вероятность перехода системы в состояние S из любых других состоя-

ний за вычетом вероятности перехода из состояния St в другие состояния за

время f,, т. е.

Р(0 = Р(ж,) - Р(0 = IP ,(gp (О - ЕР„(ОР,(0, (3.45)

,/eJ *еК

где P(t) и P(f) - вероятности нахождения системы в состояниях S и S соот-

ветственно в момент времени t, а Р,(^,) и РД?,) — вероятности изменения

состояний в течение времени ?,; произведение вида Р ,(f,)P (0 есть безусловная

вероятность перехода из S в 5 , равная условной вероятности перехода, умно-

женной на вероятность условия; J и К — множества индексов инцидентных

вершин по отношению к вершине S по входящим и исходящим дугам на графе

состояний соответственно.

Разделив выражение (3.45) на /, и перейдя к пределу при t —> О, получим

откуда следуют уравнения Колмогорова

*L(V Р)-Р I V .. v j i 1 ' i ik

J *

В стационарном состоянии dP/dt = 0 и уравнения Колмогорова составляют

систему алгебраических уравнений, в которой /-и узел представлен уравнени-

ем

Z(Fy,P) = P Z F t . (3.46)

j *

Прибавляя Vt ( Р к левой и правой частям уравнения (3 .46) и учитывая (3 .44),

получаем N N

Jl J ' I

;=1 t-1

\ Основы автоматизированного

проектирования

129