1) Метод коллокаций, в котором, используя (3.35), формируют п уравнений

с неизвестным вектором Q:

где п — число неопределенных коэффициентов;

2) Метод наименьших квадратов, основанный на минимизации квадра-

тов невязок (3.35) в п точках или в среднем по рассматриваемой области;

3) Метод Галеркина, с помощью которого минимизируются в среднем по

области невязки со специально задаваемыми весовыми коэффициентами.

Наибольшее распространение МКЭ получил в САПР машиностроения для

анализа прочности объектов. Для этой задачи можно использовать рассмот-

ренный подход, т. е. выполнить алгебраизацию исходного уравнения упругости

(уравнения Ламе). Однако более удобным в реализации МКЭ оказался подход,

основанный на вариационных принципах механики.

116

3.4. Математическое обеспечение анализа на микроуровне

МКЭ в программах анализа механической прочности

В качестве исходного положения принимают вариационный принцип Лаг-

ранжа (принцип потенциальной энергии), в соответствии с которым равновес-

ное состояние, в которое может прийти система, характеризуется минимумом

потенциальной энергии.

Потенциальная энергия П определяется как разность энергии Э деформации

тела и работы А массовых и приложенных поверхностных сил.

В свою очередь,

Э = 0,5 I 8TarfR, (3.36)

R

где ет = (en, s22, s33, s)2, 813, 823)т - вектор-строка деформаций; ст = (сти, ст22,

СУЗЗ, ар, а,3, а?3) — вектор-столбец напряжений; R - рассматриваемая область.

Деформации stj можно выразить через перемещения

etj= 0,5(5)^/5* +dW}/dx), (3.37)

где Wt — перемещение вдоль оси *, или в матричной форме

е = 0,5SW, (3.38)

где S — очевидный из (3.37) оператор дифференцирования; W = (w , w , \v ).

Деформации и напряжения связаны между собой с помощью матрицы D,

характеризующей упругие свойства среды, которая представлена в табл. 3.5:

a = De. (3.39)

Коэффициенты Яиц, фигурирующие в таблице, называют постоянными Ламе,

они выражают упругие свойства материала детали.

Подставляя (3.39) и (3.38) в (3.36), получаем

3 = 0,5j\VTSTDSWdR.

R

Решением задачи должно быть поле перемещений W(X), где X = (л,, xz, х3).

В соответствии с МКЭ это решение аппроксимируется с помощью функций

(3.34), которые применительно к совокупности конечных элементов предста-

вим в матричной форме:

U(X) = NQ,

где N — матрица координатных функций; Q — вектор неопределенных коэф-

фициентов. Таблица 3.5

Я+2ц

Я

X

0

0

0

я

Я+2ц

Я

0

0

0

к

я

Я,+ 2ц

0

0

0

0

0

0

2ц

0

0

0

0

0

0

2ц

0

0

0

0

0

0

2ц

117

3. Математическое обеспечение анализа проектных решений

Заменяя W(X) на U(X), получаем

Э = 0,5|QTNTSTDSNQrfR=0,5QT( J(SN)TDSNrfR)Q=0,5QTKQ, (3.40)

R R

где К = J(SN)TDSNc?R — матрица жесткости.

R

В соответствии с принципом потенциальной энергии в состоянии равновесия

имеем

дП/dQ = дЭ/dQ - дА/dQ = О

или, дифференцируя (3.40), находим

KQ = В, (3.41)

где В = 9A/5Q — вектор нагрузок. Таким образом, задача анализа прочности,

согласно МКЭ, сведена к решению системы линейных алгебраических уравне-

ний (3.41).

Матрица жесткости также оказывается сильно разреженной, поэтому для

решения (3.41) применяют методы разреженных матриц.

Примечание. Одним из широко известных методов разреженных матриц является

метод прогонки, используемый в случае трехдиагональных матриц коэффициентов в

системе алгебраических уравнений.