3.4. Математическое обеспечение анализа на микроуровне

емого пространства. Эти точки рассматриваются как узлы некоторой сетки,

поэтому используемые в САПР методы — это сеточные методы.

Среди сеточных методов наибольшее распространение получили два мето-

да: метод конечных разностей (МКР) и МКЭ. Обычно выполняют дискретиза-

цию пространственных независимых переменных, т. е. используют простран-

ственную сетку. В этом случае результатом дискретизации является СОДУ

для задачи нестационарной или система алгебраических уравнении для стаци-

онарной.

Пусть необходимо решить уравнение

IF(z)=/(z)

с заданными краевыми условиями

где L и М— дифференциальные операторы; F(z) — фазовая переменная; z =

= (я,, х2, х3, f) — вектор независимых переменных; /(z) и y(z) — заданные функ-

ции независимых переменных.

В методе конечных разностей алгебраизация производных по пространст-

венным координатам базируется на аппроксимации производных конечно-раз-

ностными выражениями. При использовании метода нужно выбрать шаги сетки

по каждой координате и вид шаблона. Под шаблоном понимают множество

узловых точек, значения переменных в которых используются для аппрок-

симации производной в одной конкретной точке.

Примеры шаблонов для одномерных и двумерных задач приведены на рис. 3 . 1 1 . На

этом рисунке кружком большего диаметра обозначены узлы, в которых аппроксимиру-

ется производная. Черными точками обозначены узлы, значения фазовой переменной в

которых входят в аппроксимирующее выражение. Число, записанное около узла, равно

коэффициенту, с которым значение фазовой переменной входит в аппроксимирующее

выражение. Так, для одномерных шаблонов в верхней части рисунка показана аппрок-

симация производной dVldx в точке k, и указанным шаблонам при их просмотре слева

направо соответствуют аппроксимации

h(dV/dx) = Г4+ , - V-, 2h(8V/dx) = Vk+ , - Vk_ ,; HpVIQ*) = Vk^-2Vk + Vk_ ,,

где h — шаг дискретизации по осях.

Шаблоны для двумерных задач в нижней части рис. 3 . 1 1 соответствуют следующим

конечно-разностным операторам:

левый рисунок -

средний рисунок —

2*2W = V^^ + Ft_, ,+

правый рисунок

Здесь Vk — значение VB точке (ж, k, x ); приняты одинаковые значения шагов h по обеим

координатам.

115

3 Математическое обеспечение анализа проектных решений

-1 1 -1 -е- 1 1 -2 1

(k

t ^

)

.t -1 u

Рис. 3.11. Примеры шаблонов для МКР

Метод конечных элементов основан на аппроксимации не производных, а

самого решения F(z). Но поскольку оно не известно, то аппроксимация выпол-

няется выражениями с неопределенными коэффициентами qt

U(z.) = QT<p(z), (3.34)

где QT = (#,, q2, ..., <7„)т — вектор-строка неопределенных коэффициентов,

cp(z) — вектор-столбец координатных (иначе опорных) функций, заданных

так, что удовлетворяются граничные условия.

При этом речь идет об аппроксимациях решения в пределах конечных эле-

ментов, а с учетом их малых размеров можно говорить об использовании срав-

нительно простых аппроксимирующих выражений U(z) (например, ф (z) — по-

линомы низких степеней). В результате подстановки U(z) в исходное

дифференциальное уравнение и выполнения операций дифференцирования по-

лучаем систему невязок

A(z, Q) = LU(z) -/(z) = I(QT9(z)) -f(z), (3.35)

из которой требуется найти вектор Q.

Эту задачу (определение Q) решают одним из следующих методов: