3 Математическое обеспечение анализа проектных решений

V:=V0;t:=to;h:=hHm

Расчет Я, В и решение Я*ДХ = В

Да Нет

/

V :=Х+АХ

Рис. 3.9. Граф-схема вычислительного процесса анализа на макроуровне

Из рисунка ясно, что при jV> Л^ фиксируется несходимость ньютоновских

итераций и после дробления шага происходит возврат к интегрированию при

тех же начальных для данного шага условиях. При сходимости рассчитывает-

ся 5 и в зависимости от того, выходит погрешность за пределы диапазона

[т2, ml] или нет, шаг изменяется либо сохраняет свое прежнее значение.

Параметры N , ml, m2, е, Лнач задаются по умолчанию и могут настраи-

ваться пользователем.

Матрицу Якоби Я и вектор правых частей В необходимо рассчитывать по

программе, составляемой для каждого нового исследуемого объекта. Составле-

ние программы выполняет компилятор, входящий в состав программного комп-

лекса анализа. Общая структура такого комплекса представлена на рис. 3.10.

112

3.3. Методы и алгоритмы анализа на макроуровне

Пользователь

Программы

многовариантного _>.

анализа

г

Лингвистический

препроцессор

t

Компилятор

рабочих

программ

I Рабочая программа

Т

Постпроцессор

1

•*

•*

-

Графический

_______препроцессор

Библиотека

моделей

элементов

Библиотека

функций

Библиотека

методов

Пользователь

Рис. ЗЛО. Структура программного комплекса анализа на макроуровне

Исходные данные об объекте можно задавать в графическом виде (в виде

эквивалентной схемы) или на входном языке программы анализа. Запись на

таком языке обычно представляет собой список компонентов анализируемого

объекта с указанием их взаимосвязей. Вводимые данные преобразуются во

внутреннее представление с помощью графического и лингвистического пре-

процессоров, в которых предусмотрена также диагностика нарушений формаль-

ных языковых правил. Графическое представление более удобно, особенно для

малоопытных пользователей. Задав описание объекта, пользователь может

приступить к многовариантному анализу либо по одной из программ такого

анализа, либо в интерактивном режиме, изменяя условия моделирования меж-

ду вариантами с помощью лингвистического препроцессора.

Наиболее сложная часть комплекса - компилятор рабочих программ, имен-

но в нем создаются программы расчета матрицы Якоби Я и вектора правых

частей В, фигурирующих в вычислительном процессе (см. рис. 3.9). Собствен-

но рабочая программа (см. рис. 3.10)- это и есть программа процесса, показан-

ного на рис. 3.9. Для каждого нового моделируемого объекта составляется

своя рабочая программа. При компиляции используются заранее разработан-

ные математические модели типовых компонентов, известные функции для

отображения входных воздействий, алгоритмы расчета выходных параметров

из соответствующих библиотек.

Постпроцессор представляет результаты анализа в табличной и графичес-

кой формах, это могут быть зависимости фазовых переменных от времени,

значения выходных параметров-функционалов и т. п.

ИЗ

3. Математическое обеспечение анализа проектных решений

3.4. Математическое обеспечение анализа на микроуровне

Математические модели на микроуровне

Математическими моделями на микроуровне являются дифференциальные

уравнения в частных производных или интегральные уравнения, описывающие

поля физических величин. Другими словами, на микроуровне используются

модели с распределенными параметрами. В качестве независимых перемен-

ных в моделях могут фигурировать пространственные переменные JCj, x2, х3и

время t.

Характерными примерами моделей могут служить уравнения математичес-

кой физики вместе с заданными краевыми условиями.

Например:

1) уравнение теплопроводности

где С - удельная теплоемкость; р - плотность; Т- температура; t - время; X - коэффици-

ент теплопроводности; g - количество теплоты, выделяемой в единицу времени в едини-

це объема;

2) уравнение диффузии

at

где N- концентрация частиц; D - коэффициент диффузии;

3) уравнения непрерывности, используемые в физике полупроводниковых приборов:

для дырок

для электронов

4) уравнение Пуассона

div Е = р / (е ЕО) .

Здесь р и п — концентрации дырок и электронов; q — заряд электрона; Jpu 3„ — плотности

дырочного и электронного токов; gp и gn — скорости процессов генерации-рекомбина-

ции дырок и электронов; Е — напряженность электрического поля; р — плотность элект-

рического заряда; Б и ЕО— диэлектрическая проницаемость и диэлектрическая постоянная.

Краевые условия включают в себя начальные условия, характеризующие

пространственное распределение зависимых переменных в начальный момент

времени, и граничные, задающие значения этих переменных на границах рас-

сматриваемой области в функции времени.

Методы анализа на микроуровне

В САПР решение дифференциальных или интегро-дифференциальных урав-

нений с частными производными выполняется численными методами. Эти

методы основаны на дискретизации независимых переменных — их представ-

лении конечным множеством значений в выбранных узловых точках исследу-

114