3. Математическое обеспечение анализа проектных решений

Метод разреженных матриц можно реализовать путем интерпретации и ком-

пиляции. В обоих случаях создаются массивы ненулевых коэффициентов мат-

рицы (с учетом вторичных ненулей) и массивы координат этих ненулевых эле-

ментов.

При этом выигрыш в затратах памяти довольно значителен. Так, при мат-

рице умеренного размера (200 х 200) без учета разреженности потребуется

320 Кбайт. Если же взять характерное значение 9 для среднего числа ненулей

в одной строке, то для коэффициентов и указателей координат потребуется не

более 28 Кбайт.

В случае интерпретации моделирующая программа для каждой операции

в соответствии с (3.33) при a, k Ф 0 и akj * 0 находит, используя указатели,

нужные коэффициенты и выполняет арифметические операции по (3.33). По-

скольку СЛАУ в процессе анализа решается многократно, то и операции поис-

ка нужных коэффициентов также повторяются многократно, на что, естествен-

но, тратится машинное время.

Способ компиляции более экономичен по затратам времени, но уступает

способу интерпретации по затратам памяти. При компиляции поиск нужных

для (3.33) коэффициентов выполняется однократно перед численным решени-

ем задачи. Вместо непосредственного выполнения арифметических операций

для каждой из них компилируется команда с найденными адресами ненулевых

коэффициентов. Такие команды образуют рабочую программу решения СЛАУ,

которая и будет решаться многократно. Очевидно, что теперь в рабочей про-

грамме будет выполняться минимально необходимое число арифметических

операций.

Анализ в частотной области

Анализ в частотной области выполняется по отношению к линеаризован-

ным моделям объектов. Для алгебраизации линейных СОДУ справедливо при-

менение преобразования Фурье, в котором оператор d/dt заменяется операто-

рому'со.

Характерной особенностью получающейся СЛАУ является комплексный

характер матрицы коэффициентов, что в некоторой степени усложняет процеду-

ру решения, но не создает принципиальных трудностей. При решении задают

ряд частот ЮА. Для каждой частоты решают СЛАУ и определяют действитель-

ные и мнимые части искомых фазовых переменных. По ним находят амплитуду

и фазовый угол каждой спектральной составляющей, что и позволяет построить

амплитудно-частотные, фазочастотные характеристики, найти собственные

частоты колебательной системы и т. п.

Многовариантный анализ

Одновариантный анализ позволяет получить информацию о состоянии и по-

ведении проектируемого объекта в одной точке пространства внутренних X

и внешних Q параметров. Очевидно, что для оценки свойств проектируемого

объекта этого недостаточно. Нужно выполнять многовариантный анализ,

108

3.3. Методы и алгоритмы анализа на макроуровне

т. е. исследовать поведение объекта, в ряде точек упомянутого пространства,

которое для краткости будем далее называть пространством аргументов.

Чаще всего многовариантный анализ в САПР осуществляется в интерак-

тивном режиме, когда разработчик неоднократно меняет в математической

модели те или иные параметры из множеств X и Q, выполняет одновариант-

ный анализ и фиксирует полученные значения выходных параметров. Подоб-

ный многовариантный анализ позволяет оценить области работоспособнос-

ти, степень выполнения условий работоспособности, а следовательно, степень

выполнения ТЗ на проектирование, разумность принимаемых промежуточных

решений по изменению проекта и т. п.

П р и м е ч а н и е . Областью работоспособности называют область в пространстве

аргументов, в пределах которой выполняются все заданные условия работоспособнос-

ти, т. е. значения^сех выходных параметров находятся в допустимых по ТЗ пределах.

Как упомянуто в гл. 1, среди процедур многовариантного анализа можно

выделить типовые, выполняемые по заранее составленным программам. К та-

ким процедурам относятся анализ чувствительности и статистический анализ.

Наиболее просто анализ чувствительности реализуется путем численно-

го дифференцирования. Пусть анализ проводится в некоторой точке Хном про-

странства аргументов, в которой предварительно проведен одновариантный

анализ и найдены значения выходных параметров yj ном. Выделяется TV пара-

метров-аргументов xt (из числа элементов векторов X и Q), влияние которых

на выходные параметры подлежит оценить, поочередно каждый из них получа-

ет приращение AJC,, выполняется одновариантный анализ, фиксируются значе-

ния выходных параметров у и подсчитываются значения абсолютных

А!,= (У, ~.У,но„)/А.х,

и относительных коэффициентов чувствительности

jt J I I НОМ 'У] НОМ*

Такой метод численного дифференцирования называют методом прираще-

ний. Для анализа чувствительности, согласно методу приращений, требуется

выполнить./^ 1 раз одновариантный анализ. Результат его применения—матри-

цы абсолютной и относительной чувствительности, элементами которых яв-

ляются коэффициенты Л,, и BJt.

П р и м е ч а н и е . Анализ чувствительности — это расчет векторов градиентов

выходных параметров, который входит составной частью в программы параметричес-

кой оптимизации, использующие градиентные методы.

Цель статистического анализа — оценка законов распределения выход-

ных параметров и (или) числовых характеристик этих распределений. Случай-

ный характер величин у обусловлен случайным характером параметров эле-

ментов х:, поэтому исходными данными для статистического анализа являются

сведения о законах распределения х:. В соответствии с результатами статис-

тического анализа прогнозируют такой важный производственный показатель,

109