3. Математическое обеспечение анализа проектных решений

В методе продолжения решения по параметру в ММС выделяется некото-

рый параметр а, такой, что при а = 0 корень Ха=0 системы (3.30) известен, a

при увеличении а от 0 до его истинного значения составляющие вектора X

плавно изменяются от Ха=0 до истинного значения корня. Тогда задача разби-

вается на ряд подзадач, последовательно решаемых при меняющихся значениях

а, и при достаточно малом шаге Да изменения а условия сходимости выпол-

няются.

В качестве параметра а можно выбрать некоторый внешний параметр, на-

пример, при анализе электронных схем им может быть напряжение источника

питания. Но на практике при интегрировании СОДУ в качестве а выбирают

шаг интегрирования h. Очевидно, что при h = О корень СНАУ равен значению

вектора неизвестных на предыдущем шаге. Регулирование значений h воз-

лагается на алгоритм автоматического выбора шага.

В этих условиях очевидна целесообразность представления математических

моделей для анализа статических состояний в виде СОДУ, как и для анализа

динамических режимов.

Методы решения систем линейных

алгебраических уравнений

В программах анализа в САПР для решения СЛАУ чаще всего применяют

метод Гаусса или его разновидности. Метод Гаусса — метод последователь-

ного исключения неизвестных из системы уравнений. При исключении k-w. неиз-

вестной xk из системы уравнений

АХ = В (3.32)

все коэффициенты at] при / > k и у > k пересчитывают по формуле

<*„ '- = a,j-alkakjlakk. (3.33)

Исключение п - 1 неизвестных, где п — порядок системы (3.32), называют пря-

мым ходом, в процессе которого матрица коэффициентов приобретает треуголь-

ный вид. При обратном ходе последовательно вычисляют неизвестные, начи-

ная с х„.

В общем случае число арифметических операций для решения (3.32) по

Гауссу пропорционально п3. Это приводит к значительным затратам машин-

ного времени, поскольку СЛАУ решается многократно в процессе одновариант-

ного анализа, и существенно ограничивает сложность анализируемых объек-

тов. Можно заметно повысить вычислительную эффективность анализа, если

использовать характерное практически для всех приложений свойство высокой

разреженности матрицы А в модели (3.32).

Матрицу называют разреженной, если большинство ее элементов рав-

но нулю. Эффективность обработки разреженных матриц велика потому, что

не требуются, во-первых, пересчет по формуле (3.33), если хотя бы один из

элементов alk или akj оказывается нулевым, во-вторых, затраты памяти для

106

3.3. Методы и алгоритмы анализа на макроуровне

хранения нулевых элементов. Хотя алгоритмы обработки разреженных матриц

более сложны, но в результате удается получить затраты машинного времени,

близкие к линейным, например, затраты оказываются пропорциональными и1-2.

При использовании методов разреженных матриц нужно учитывать зависи-

мость вычислительной эффективности от того, как представлена матрица коэф-

фициентов А, точнее, от того, в каком порядке записаны ее строки и столбцы.

Для пояснения этой зависимости рассмотрим два варианта представления

одной и той же СЛАУ. В первом случае система уравнений имеет вид

«11*1 «14*4

При прямом ходе в соответствии с формулой (3.33) все элементы матрицы,

которые первоначально были нулевыми, становятся ненулевыми, а матрица ока-

зывается полностью насыщенной. Элементы, становящиеся ненулевыми в

процессе гауссовых исключений, называют вторичными ненулями. Вторичные

ненули в табл. 3.3 отмечены знаком « . ».

Во втором случае меняются местами первое и пятое уравнения. Матрицы

коэффициентов имеют вид табл. 3.3 и 3.4, где ненулевые элементы представ-

лены знаком « + ». Теперь вторичные ненули не появляются, матрица остается

разреженной, высокая вычислительная эффективность сохраняется.

Таким образом, методы разреженных матриц должны включать в себя спо-

собы оптимального упорядочения строк и столбцов матриц. Используют

несколько критериев оптимальности упорядочения. Простейшим из них являет-

ся критерий расположения строк в порядке увеличения числа первичных нену-

лей, более сложные критерии учитывают не только первичные ненули, но и

появляющиеся вторичные ненули.

Методом разреженных матриц называют метод решения СЛАУ на основе

метода Гаусса с учетом разреженности (первичной и вторичной) матрицы коэф-

фициентов.

Таблица 3.3 Таблица 3.4

107