3. Математическое обеспечение анализа проектных решений

Алгоритм численного интегрирования СОДУ

Одна из удачных реализаций неявного метода второго порядка, которую мож-

но считать модификацией метода трапеций, основана на комбинированном

использовании явной и неявной формул Эйлера. Рассмотрим вопрос, почему

такое комбинирование снижает погрешность и приводит к повышению порядка

метода.

Предварительно отметим, что в методах р-то порядка локальная погреш-

ность, т. е. погрешность, допущенная на одном п-ы шаге интегрирования, оцени-

вается старшим из отбрасываемых членов

в разложении решения V( t) в ряд Тейлора, где с — постоянный коэффициент, за-

висящий от метода; |V(/>+1)(t)| — норма вектора (р + 1) — х производных V(/),

которая оценивается с помощью конечно-разностной аппроксимации; т — зна-

чение времени / внутри шага.

Если и-й шаг интегрирования в комбинированном методе был неявным, т. е.

выполненным по неявной формуле, то следующий шаг с тем же значением h

должен быть явным. Используя разложение решения V(f) в ряд Тейлора в ок-

рестностях точки tn + l, получаем для (п + 1)-го неявного шага

+ (d2V/dt 2)AV2! - (d3 V/dt 3)#/3! + ... (3.28)

и для (и + 2)-го явного шага

V(/; + 2) = Vfc + 1) + (dVldt)ht + (d2\/dt2)h2

x/2\ + (d3V/dt3)h3

x/3\ + ..., (3.29)

где hn и h — величины неявного и явного шагов, а значения производных относят-

ся к моменту tn+ г. Подставляя (3.28) в (3.29), при h = Ля = /?н получаем

V(tn + 2) = V(tn) + 2(dV/dt)h + 2(d3V/dt3)h3/3\ + ...,

т. е. погрешности, обусловливаемые квадратичными членами в (3.28) и (3.29),

взаимно компенсируются и старшим из отбрасываемых членов становится член

с h3. Следовательно, изложенное комбинирование неявной и явной формул

Эйлера дает метод интегрирования второго порядка.

Неявные методы и, в частности, рассмотренный комбинированный метод

целесообразно использовать только при переменной величине шага. Действи-

тельно, при заметных скоростях изменения фазовых переменных погрешность

остается в допустимых пределах только при малых шагах, в квазистатических

режимах шаг может быть во много раз больше.

Алгоритмы автоматического выбора шага основаны на сравнении допу-

щенной и допустимой локальных погрешностей. Например, вводится некоторый

диапазон (коридор) погрешностей d, в пределах которого шаг сохраняется неиз-

менным. Если же допущенная погрешность превышает верхнюю границу

диапазона, то шаг уменьшается, если же выходит за нижнюю границу, то шаг

увеличивается.

104

3.3. Методы и алгоритмы анализа на макроуровне

Методы решения систем нелинейных

алгебраических уравнений

Вычисления при решении СОДУ состоят из нескольких вложенных один в

другой циклических процессов. Внешний цикл — это цикл пошагового численного

интегрирования, параметром цикла является номер шага. Если модель ана-

лизируемого объекта нелинейна, то на каждом шаге выполняется промежуточ-

ный цикл — итерационный цикл решения системы нелинейных алгебраических

уравнений (СИЛУ). Параметр цикла — номер итерации. Во внутреннем цикле

решается СЛАУ, например, при применении узлового метода формирования

ММС такой системой является (3.19). Поэтому в математическое обеспечение

анализа на макроуровне входят методы решения СНАУ и СЛАУ.

Для решения СНАУ можно применять прямые итерационные методы, та-

кие, как метод простой итерации или метод Зейделя, но в современных про-

граммах анализа наибольшее распространение получил метод Ньютона, осно-

ванный на линеаризации СНАУ. Собственно, модель (3.19) получена именно в

соответствии с методом Ньютона. Основное преимущество метода Ньюто-

на — высокая скорость сходимости.

Представим СНАУ в виде

F(X) = 0. (3.30)

Разлагая F(X) в ряд Тейлора в окрестностях некоторой точки \k , получаем

F(X) = F(Xt) + (SF/dX)(X - Xt) + (X - Xt)T(S2F/dX2)(X - XJ/2 + ... = 0.

Сохраняя только линейные члены, имеем СЛАУ с неизвестным вектором X:

, (3.31)

где Я^ = (5F/3X)|t. Решение системы (3.31) дает очередное приближение к

корню системы (3.30), которое удобно обозначить Xt+ ,.

Вычислительный процесс стартует с начального приближения Х0 и в случае

сходимости итераций заканчивается, когда погрешность, оцениваемая как

станет меньше допустимой погрешности е.

Однако метод Ньютона не всегда приводит к сходящимся итерациям. Усло-

вия сходимости метода Ньютона выражаются довольно сложно, но существует

легко используемый подход к улучшению сходимости. Это близость начально-

го приближения к искомому корню СНАУ. Использование этого фактора приве-

ло к появлению метода решения СНАУ, называемого продолжением реше-

ния по параметру.

105