3. Математическое обеспечение анализа проектных решений

где Е — единичная матрица. Вектор Vn+1 можно выразить через вектор началь-

ных условий V0:

V_ + 1 = (E + /zA)"V0. (3.24)

Обозначим

В = Е + НА (3.25)

и применим преобразование подобия для матрицы В:

В = T-'diag^JT.

Здесь Т - преобразующая матрица; diag{A,B } - диагональная матрица с соб-

ственными значениями А,в матрицы В на диагонали. Нетрудно видеть, что

Из линейной алгебры известно, что собственные значения матриц, связанных

арифметическими операциями, оказываются связанными такими же преобра-

зованиями. Поэтому из (3.25) следует:

Точное решение модельной задачи (3 .23) V( /) — > 0 при / — > °о, следовательно,

условием устойчивости процесса численного решения можно считать

У„ + 1->Оприи->оо,

откуда последовательно получаем

(Е + /zA)" V0 ->• О,

так как V0* 0, то (Е + ЛА)" -> 0, поскольку Т ^ 0, то Я.£ -» 0 и условие устой-

чивости

-К |1 + ЛХАу| < 1. (3.26)

Известно, что для физически устойчивых систем собственные значения

матрицы коэффициентов в ММС оказываются отрицательными. Если к тому

же все А.А действительные величины (характер процессов в ММС с моделью

(3.23) апериодический), то естественно определить постоянные времени физи-

ческой системы как

^-^А,,

и условие (3.26) конкретизируется следующим образом

-1<|1-А/т|<1шшО<А<2тт ш , (3.27)

где т — минимальная постоянная времени. Если использовать явные методы

более высокого порядка, то может увеличиться коэффициент перед тшт в (3 .27),

но это принципиально не меняет оценки явных методов.

102

3 3 Методы и алгоритмы анализа на макроуровне

Если нарушено условие (3.27), то происходит потеря устойчивости вычис-

лений, а это означает, что в решении задачи возникают ложные колебания с

увеличивающейся от шага к шагу амплитудой и быстрым аварийным остановом

ЭВМ вследствие переполнения разрядной сетки. Конечно, ни о какой адекватнос-

ти решения говорить не приходится.

Для соблюдения (3.27) применяют те или иные алгоритмы автоматического

выбора шага. Отметим, что в сложной модели расчет ттш для непосредствен-

ного выбора шага по (3.27) слишком трудоемок, кроме того, однократный расчет

ттш мало эффективен, так как в нелинейных моделях тш1п может изменяться от

шага к шагу.

Условие (3.27) накладывает жесткие ограничения на шаг интегрирования. В

результате вычислительная эффективность явных методов резко падает с ухуд-

шением обусловленности ММС. Действительно, длительность Т^ моделиру-

емого процесса должна быть соизмеримой с временем успокоения системы

после возбуждающего воздействия, т. е. соизмерима с максимальной постоян-

ной времени ттах. Требуемое число шагов интегрирования равно

Отношение Ч = тгоах /ттт называют разбросом постоянных времени или

числом обусловленности. Чем больше это число, тем хуже обусловленность.

Попытки применения явных методов к любым ММС чаще всего приводят к

недопустимо низкой вычислительной эффективности, поскольку в реальных

моделях Ч > 105 — обычная ситуация. Поэтому в настоящее время в универ-

сальных программах анализа явные методы решения СОДУ не применяют.

Аналогичный анализ числовой устойчивости неявных методов дает следую-

щие результаты. Вместо (3.24) имеем

и условие числовой устойчивости принимает вид

при любых h > 0. Следовательно, неявный метод Эйлера обладает так называ-

емой А-устойчивостъю.

П р и м е ч а н и е . Метод интегрирования СОДУ называют Л-устойчивым, если

погрешность интегрирования остается ограниченной при любом шаге h > 0.

Применение ^-устойчивых методов позволяет существенно уменьшить тре-

буемые числа шагов Ш. В этих методах шаг выбирается автоматически не из

условий устойчивости, а только из соображений точности решения.

Выбор порядка метода решения СОДУ довольно прост; во-первых, более

высокий порядок обеспечивает более высокую точность, во-вторых, среди неяв-

ных разностных методов кроме метода Эйлера ^-устойчивы также методы

второго порядка и среди них — метод трапеций. Поэтому преобладающее рас-

пространение в программах анализа получили методы второго порядка — мо-

дификации метода трапеций.

103