3. Математическое обеспечение анализа проектных решений

Исключим вектор I, с помощью компонентного уравнения (3.18), а вектор

1Ист с помощью очевидного выражения

где К = (91ИСТ /51) - матрица передаточных коэффициентов источников тока.

Используем также выражение (3.16), принимающее вид

U,= - М„Ф - М12ПИСТ - М13Е = - М1]Ф - М12 (ШИСТ/Э1)1 - М,3Е.

Получаем систему из трех матричных уравнений с неизвестными векторами

ф, I и 1L:

- (Мп)т С/Мпф + M12RI) + (М2))т I, + (М31)т KI =

= (МП)Т(С,М13Е-А,); (3.20)

\ = - СДМ21ф + M22RI + М23Е) + А,; (3.21)

I = - С,(М31ф + M32RI + М33Е) + А„ (3.22)

где обозначено R = (5UHCT/9I). Эта система и является итоговой ММ в узло-

вом модифицированном методе.

Замечания. 1 . Вектор индуктивных токов нельзя исключить из итоговой системы урав-

нений, так как его значения входят в вектор AL на последующих шагах численного интег-

рирования. 2. Источники тока, зависящие от напряжений, относятся к неособым ветвям,

их проводимости Э1ист/5и входят в матрицу Gi5 которая при этом может иметь недиаго-

нальный вид. 3. Источники напряжения, зависящие от напряжений, в приведенных выше

выражениях не учитываются, при их наличии нужно в матрице М выделить столбец для

этих ветвей, что приведет к появлению дополнительных слагаемых в правых частях урав-

нений (3.20)-(3.22).

3.3. Методы и алгоритмы анализа на макроуровне

Выбор методов анализа во временной области

Анализ процессов в проектируемых объектах можно проводить во времен-

ной и частотной областях. Анализ во временной области (динамический ана-

лиз) позволяет получить картину переходных процессов, оценить динамичес-

кие свойства объекта, он является важной процедурой при исследовании как

линейных, так и нелинейных систем. Анализ в частотной области более спе-

цифичен, его применяют, как правило, к объектам с линеаризуемыми матема-

тическими моделями при исследовании колебательных стационарных процес-

сов, анализе устойчивости, расчете искажений информации, представляемой

спектральными составляющими сигналов, и т. п.

100

3.3. Методы и алгоритмы анализа на макроуровне

Методы анализа во временной области, используемые в универсальных про-

граммах анализа в САПР, — это численные методы интегрирования систем

обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ):

Другими словами, это методы алгебраизации дифференциальных уравне-

ний. Формулы интегрирования СОДУ могут входить в математическую мо-

дель независимо от компонентных уравнений, как это имеет место в (3. 1 5), или

быть интегрированными в математические модели компонентов, как это вы-

полнено в узловом методе.

От выбора метода решения СОДУ существенно зависят такие характерис-

тики анализа, как точность и вычислительная эффективность. Эти характе-

ристики определяются прежде всего типом и порядком выбранного метода ин-

тегрирования СОДУ.

Применяют два типа методов интегрирования — явные (иначе экстраполя-

ционные, или методы, основанные на формулах интегрирования вперед) и неяв-

ные (интерполяционные, основанные на формулах интегрирования назад). Раз-

личия между ними удобно показать на примере простейших методов первого

порядка — методов Эйлера.

Формула явного метода Эйлера представляет собой следующую формулу

замены производных в точке tn:

Здесь индекс равен номеру шага интегрирования; hn = tn + , - tn — размер шага

интегрирования (обычно hn называют просто шагом интегрирования).

В формуле неявного метода Эйлера использовано дифференцирование

назад: </V/A|=(V-V ,)/A, 1ц v п п-1 ' п'

гае Л„ = *„-*„_,.

Выполним сравнительный анализ явных и неявных методов на примере мо-

дельной задачи:

dVldt = AV (3.23)

при ненулевых начальных условиях V0 Ф О и при использовании методов Эйле-

ра с постоянным шагом h. Здесь А — постоянная матрица; V — вектор фазовых

переменных.

При алгебраизации явным методом имеем

или

101