4 Основы автоматизированного у у

проектирования

3. Математическое обеспечение анализа проектных решений

1„ = С„ии+А„, (3.18)

где С„ — диагональная матрица проводимостей ветвей, рассчитанная в точ-

ке („; А„ — вектор, зависящий от значений фазовых переменных на предшест-

вующих шагах интегрирования и потому уже известный к моменту времени /я.

Каждая ветвь (за исключением идеальных источников напряжения) имеет про-

водимость, которая занимает одну из диагональных клеток матрицы проводи-

мостей.

Подставляя (3.18) и затем (3.16) в (3.17), окончательно получаем ММС:

МТ1„= MT(GnUn+ А„) = - МТСИМФЯ+ МТА„ = О

или

Я„Ф„=ВЛ, (3.19)

где Я„ = МТС„М - матрица Якоби; В„ = МТАИ — вектор правых частей. Отме-

тим, что матрица М имеет размер а х (р - 1), матрица С„ — а х а, а матрица

Лкоби-(р-1)х(р-1).

Система (3.19) является системой линейных алгебраических уравнений

(СЛАУ), полученной в результате дискретизации независимой переменной, ал-

гебраизации дифференциальных уравнений и линеаризации алгебраических урав-

нений. Алгебраизация приводит к необходимости пошагового вычислительно-

го процесса интегрирования, линеаризация — к выполнению итерационного

вычислительного процесса на каждом шаге интегрирования.

Рассмотрим, каким образом определяются проводимости ветвей.

Для резистивных ветвей проводимость — величина, обратная сопротивле-

нию R.

При использовании неявного метода Эйлера проводимость емкостной вет-

ви можно получить из ее компонентного уравнения следующим образом.

На и-м шаге интегрирования

in = Cdu/dt \ = С(и„ -и.. ,)/*„,

проводимость g = д1„1ди„ и при С = const имеем

g=C/hn.

При этом в вектор правых частей входит элемент а„ = gun ,.

Проводимость индуктивной вбтви можно найти аналогично:

и„ = !(/„-/„ _,)/Л„

и при L = const

98

3.2. Математические модели в процедурах анализа на макроуровне

Аналогично определяют проводимости и при использовании других раз-

ностных формул численного интегрирования, общий вид которых

dU/dt I = ц„и„- л„,

где ц„ зависит от шага интегрирования; г\„— от значений вектора U на предыду-

щих шагах.

Классический вариант узлового метода имеет ограничения на применение.

Так, не допустимы идеальные (с бесконечной проводимостью) источники на-

пряжения, зависимые источники, аргументами которых являются токи, а так-

же индуктивности, поскольку в классическом варианте токи не входят в число

базисных переменных. Устранить эти ограничения довольно просто — нужно

расширить совокупность базисных координат, включив в нее токи-аргументы

зависимых источников, а также токи индуктивных ветвей и источников напря-

жения. Полученный вариант метода называют модифицированным узловым

методом.

Согласно модифицированному узловому методу, в дерево при построе-

нии матрицы М включают ветви источников напряжения и затем фиктивные

ветви. В результате матрица М принимает вид (табл. 3.2), где введены обо-

значения: UHCT(I) — источники напряжения, зависящие от тока; Е(/) —

независимые источники напряжения; 1ИСТ(1) — источники тока, зависящие от

тока; L — индуктивные ветви; Му - подматрица контуров хорд группы i и

сечений фиктивных ветвей группы^.

Те же обозначения UHCT, I, Е, 1ИСТ будем использовать и для соответствующих

векторов напряжений и токов. Назовем ветви, токи которых являются аргу-

ментами в выражениях для зависимых источников, т. е. входят в вектор I,

особыми ветвями. Остальные ветви (за исключением индуктивных) —

неособые. Введем также обозначения: IL - вектор индуктивных токов; I, и Ц,.

- векторы токов и напряжений неособых ветвей; Gx, GL, G, - диагональные

матрицы проводимостей ветвей неособых, индуктивных, особых.

Уравнение закона токов Кирхгофа (3.17) для фиктивных ветвей имеет вид

Т а б л и ц а 3.2

Тип ветви

Неособые ветви

L

1ист(1)

Фиктивные ветви

м„

М21

М3,

и„ст(1)

М12

М22

М32

Е ( / )

М„

М23

М33

99