51,52 И рессор с1,с2. На рис. 3.7, б приведена эквивалентная схема для верти-

кальных составляющих сил и скоростей, на которой телам системы соот-

ветствуют одноименные узлы, учитываются массы платформы и колес, упру-

гость рессор, трение между колесами и дорогой; неровности дороги вызьшают

воздействие на систему, изображенное на рис. 3.7, б, источниками силы.

А

А

\

L в

Базовый узел

а б

Рис. 3.7. Простая механическая система:

а - эскизное изображение; б- эквивалентная схема

95

3 Математическое обеспечение анализа проектных решений

Характеристика методов формирования ММС

Исходную систему компонентных и топологических уравнений (3. 1) и (3.2)

можно рассматривать как окончательную ММС, которая и подлежит числен-

ному решению. Численное решение этой системы уравнений предполагает ал-

гебраизацию дифференциальных уравнений, например, с помощью преобразо-

вания Лапласа или формул численного интегрирования. В программах анализа

нелинейных объектов на макроуровне, как правило, применяются формулы чис-

ленного интегрирования, примером которых может служить неявная формула

Эйлера

где V - значение переменной V на г-м шаге интегрирования; А„ = tn - tn_l — шаг

интегрирования. Алгебраизация подразумевает предварительную дискретиза-

цию независимой переменной t (вместо непрерывной переменной t получаем

конечное множество значений tn), она заключается в представлении ММС в

виде системы уравнений

FT(VJ = 0; (3.15)

Zn= (¥„-¥„_,)//*„

с неизвестными Vn и Ъп, где использовано обозначение Z = dV/dt. Эту систему

алгебраических уравнений, в общем случае нелинейных, необходимо решать

на каждом шаге численного интегрирования исходных дифференциальных урав-

нений.

Однако порядок этой системы довольно высок и примерно равен 2а + у, где

а — число ветвей эквивалентной схемы (каждая ветвь дает две неизвестные

величины — фазовые переменные типа потока и типа потенциала, за исключени-

ем ветвей внешних источников, у каждой из которых не известна лишь одна фа-

зовая переменная), у —число элементов в векторе производных. Чтобы снизить

порядок системы уравнений и тем самым повысить вычислительную эффек-

тивность ММС, желательно выполнить предварительное преобразование моде-

ли (в символическом виде) перед ее многошаговым численным решением.

Предварительное преобразование сводится к исключению из системы части

неизвестных и соответствующего числа уравнений. Оставшиеся неизвестные

называют базисными. В зависимости от набора базисных неизвестных разли-

чают несколько методов формирования ММС.

Согласно методу переменных состояния (более полное название метода

— метод переменных, характеризующих состояние), вектор базисных перемен-

ных W состоит из переменных состояния. Этот вектор включает неизбыточ-

ное множество переменных, характеризующих накопленную в системе энер-

96

3 2 Математические модели в процедурах анализа на макроуровне

гию. Например, такими переменными могут быть скорости тел (кинетическая

энергия определяется скоростью, так как равна Мм2/2), емкостные напряже-

ния, индуктивные токи и т. п. Очевидно, что число уравнений не превышает у.

Кроме того, итоговая форма ММС оказывается приближенной к явной форме

представления системы дифференциальных уравнений, т. е. к форме, в которой

вектор dWIdt явно выражен через вектор W, что упрощает дальнейшее приме-

нение явных методов численного интегрирования. Метод реализуется путем

особого выбора системы хорд и ветвей дерева при формировании топологи-

ческих уравнений. Поскольку явные методы численного интегрирования

дифференциальных уравнений не нашли широкого применения в программах

анализа, то метод переменных состояния также теряет актуальность и его при-

менение оказывается довольно редким.

В классическом варианте узлового метода в качестве базисных перемен-

ных используются узловые потенциалы (т. е. скорости тел относительно инер-

циальной системы отсчета, абсолютные температуры, перепады давления

между моделируемой и внешней средой, электрические потенциалы относи-

тельно базового узла). Число узловых потенциалов и соответственно уравнений

в ММС оказывается равным Р -1, где р — число узлов в эквивалентной схеме.

Обычно р заметно меньше а, и, следовательно, порядок системы уравнений в

ММС снижен более чем в 2 раза по сравнению с порядком исходной системы.

Однако классический вариант узлового метода имеет ограничения на при-

менение, и потому в современных программах анализа наибольшее распрост-

ранение получил модифицированный узловой метод.

Узловой метод

Матрицу контуров и сечений М в узловом методе формируют следующим

образом. Выбирают базовый узел эквивалентной схемы и каждый из остальных

узлов соединяют с базовым фиктивной ветвью. Именно фиктивные ветви при-

нимают в качестве ветвей дерева, а все реальные ветви оказываются в числе

хорд. Поскольку токи фиктивных ветвей равны нулю, а вектор напряжений фик-

тивных ветвей есть вектор узловых потенциалов ф, то уравнения (3.13) и (3.14)

принимают вид

U + M<p = 0; (3.16)

МТ1 = 0, (3.17)

где U и I — векторы напряжений и токов реальных ветвей.

Компонентные уравнения алгебраизуются с помощью одной из формул чис-

ленного интегрирования, линеаризуются с помощью разложения в ряд Тейлора

с сохранением только линейных членов, и их представляют в виде