3. Математическое обеспечение анализа проектных решений

J tl§

=

U

[

V

R.

а б

Рис. 3.6. Эквивалентная схема (а) и ее граф (б )

При записи топологических уравнений удобно использовать промежуточ-

ную графическую форму — представление модели в виде эквивалентной схе-

мы, состоящей из двухполюсных элементов. Общность подхода при этом сохра-

няется, так как любой многополюсный компонент можно заменить подсхемой

из двухполюсников. В свою очередь, эквивалентную схему можно рассматри-

вать как направленный граф, дуги которого соответствуют ветвям схемы. На-

правления потоков в ветвях выбираются произвольно (если реальное направле-

ние при моделировании окажется противоположным, то это приведет лишь к

отрицательным численным значениям потока).

Пример некоторой простой эквивалентной схемы и соответствующего ей

графа приведен на рис. 3.6. Для конкретности и простоты изложения на рисунке

использованы условные обозначения, характерные для электрических экви-

валентных схем, по той же причине далее в этом параграфе часто применяет-

ся электрическая терминология. Очевидно, что поясненные выше аналогии

позволяют при необходимости легко перейти к обозначениям и терминам, при-

вычным для механиков.

Для получения топологических уравнений все ветви эквивалентной схемы

разделяют на подмножества хорд и ветвей дерева. Имеется в виду покры-

вающее (фундаментальное) дерево, т. е. подмножество из Р - 1 дуг, не образую-

щее ни одного замкнутого контура, где Р — число вершин графа (узлов эквива-

лентной схемы). На рис. 3.6, б показан граф эквивалентной схемы, приведенной

на рис. 3.6, а, утолщенными линиями выделено одно из возможных покрывающих

деревьев.

Выбор дерева однозначно определяет векторы напряжений Ux и токов 1^

хорд, напряжений и„д и токов 1ВД ветвей дерева и приводит к записи топологи-

ческих уравнений в виде

их + Ми„д = 0; (3.13)

1ВД-МТ1Х = 0, (3.14)

где М — матрица контуров и сечений; М7— транспонированная М-матрица.

94

3.2, Математические модели в процедурах анализа на макроуровне

Т а б л и ц а 3.1

Хорды

RI

R2

R3

R4

J

Ветви дерева

С1

-1

0

0

-1

+1

С2

0

-1

0

+ 1

0

сз

0

0

-1

+1

0

В М-матрице число строк соответству-

ет числу хорд, число столбцов равно числу

ветвей дерева. М-матрица формируется

следующим образом. Поочередно к дере-

ву подключаются хорды. Если при подклю-

чении к дереву р-й хорды q-я ветвь входит

в образовавшийся контур, то элемент мат-

рицы Мт = +1 при совпадении направле-

ний ветви и подключенной хорды, Мм= -1

при несовпадении направлений. В против-

ном случае Мт = 0.

Для схемы на рис. 3.6 М-матрица

представлена в виде табл. 3.1

Особенности эквивалентных схем механических объектов

Для каждой степени свободы строят свою эквивалентную схему. Каждому

телу с учитываемой массой соответствует узел схемы (вершина графа). Один

узел, называемый базовым, отводится телу, отождествляемому с инерциальной

системой отсчета.

Каждый элемент массы изображают ветвью, соединяющей узел, соответ-

ствующий массе тела с базовым узлом; каждый элемент упругости — ветвью,

соединяющей узлы тел, связанных упругой связью; каждый элемент трения —

ветвью, соединяющей узлы трущихся тел. Внешние воздействия моделируют-

ся источниками сил и скоростей.

В качестве примера на рис. 3.7, а изображена некоторая механическая сис-

тема — тележка, движущаяся по дороге и состоящая из платформы А, колес