3. Математическое обеспечение анализа проектных решений

параметры L и ZM— индуктивными (индуктивного типа), а параметры R и Rrp=

= du/dF — резистивными (резистивного типа).

Имеется и существенное отличие в моделировании электрических и меха-

нических систем: первые из них одномерны (на макроуровне), а процессы во

втормх часто приходится рассматривать в двумерном {ID) или трехмерном

(3D) пространстве. Следовательно, при моделировании механических систем

в общем случае в пространстве 3D нужно использовать векторное представле-

ние фазовых переменных, каждая из которых имеет шесть составляющих, со-

ответствующих шести степеням свободы.

Однако отмеченные выше аналогии остаются справедливыми, если их отно-

сить к проекциям сил и скоростей на каждую пространственную ось, а при гра-

фическом представлении моделей использовать шесть эквивалентных схем —

три для поступательных составляющих и три для вращательных.

Гидравлические системы. Фазовыми переменными в гидравлических сис-

темах являются расходы и давления. Как и в предыдущем случае, компонент-

ные уравнения описывают свойства жидкости рассеивать или накапливать энер-

гию.

Рассмотрим компонентные уравнения для жидкости на линейном участке

трубопровода длиной А/ и воспользуемся уравнением Навье — Стокса в следую-

щей его форме (для ламинарного течения жидкости):

pdU/dt = -dP/dx-2aU,

где р — плотность жидкости; U — скорость; Р — давление; а — коэффициент

линеаризованного вязке и трения. Так как U = Q/S, где Q — объемный расход,

S — площадь поперечного сечения трубопровода, то, заменяя пространствен-

ную производную отношением конечных разностей, имеем

dQ/dt =5АР/(Л/р) - 2aQ/p,

ИЛИ '

АР = LrdQ/dt + RTQ. (3.11)

Здесь АР — падение давления на рассматриваемом участке трубопровода;

Zr= A/pAS— гидравлическая индуктивность, отражающая инерционные свой-

ства жидкости; RT= 2 aAl/S— гидравлическое сопротивление, отражающее вяз-

кое трение.

П р и м е ч а н и е . В трубопроводе круглого сечения радиусом г удобно исполь-

зовать выражение для гидравлического сопротивления при ламинарном течении:

RT= 8иД//(тгг4), где и — кинематическая вязкость; в слу-

чае турбулентного характера течения жидкости компо-

^>^-v> | - [ нентное уравнение для вязкого трения имеет вид Ар =

1 - ' = RrQ\Q\ при R=0,31(nru /\Q\)M.

Рис. 3.4. Эквивалентная Интерпретация уравнения (3.11) приводит к

схема участка трубопровода эквивалентной схеме, показанной на рис. 3 .4.

92

3 2 Математические модели в процедурах анализа на макроуровне

Трансформаторные связи

Гираторные связи

/,=Я/2

Рис. 3.5. Элементы взаимосвязи подсистем различной физической природы

Явление сжимаемости жидкости описывается компонентным уравнением,

вытекающим из закона Гука,

(3.12)

Дифференцируя (3.12) и учитывая, что объемный расход Q связан со скорос-

тью U — d&l/dt соотношением Q — US, получаем

JAP/Л = CrQ,

где Cr = E/(S I) — гидравлическая емкость.

Связь подсистем различной физической природы. Используют сле-

дующие способы моделирования взаимосвязей подсистем: с помощью транс-

форматорной, гираторной связей и с помощью зависимости параметров компо-

нентов одной подсистемы от фазовых переменных другой. В эквивалентных

схемах трансформаторные и гираторные связи представлены зависимыми

источниками фазовых переменных, показанными на рис. 3.5. На этом рисунке

п — коэффициент трансформации; g — передаточная проводимость; U и / —

фазовые переменные ву'-й цепи; j = 1 соответствует первичной, а/ = 2 — вто-

ричной цепи.

Примечание. Следует отметить, что рассмотренные аналогии фазовых перемен-

ных, топологических и компонентных уравнений разных физических систем нашли свое

отражение в международном стандарте VHDL-AMS, в котором фазовые переменные

типа потенциала названы переменными across quantity, а переменные типа потока —

through quantity.

Представление топологических уравнений

Известен ряд методов формирования ММС на макроуровне. Получаемые

с их помощью модели различаются ориентацией на те или иные численные

методы решения и набором базисных переменных, т. е. фазовых переменных,

остающихся в уравнениях итоговой ММС. Общей для всех методов является

исходная совокупность топологических и компонентных уравнений (3. 1) и (3.2).

93