3. Математическое обеспечение анализа проектных решений

При применении этих программ пользователь описывает исследуемый объект

на входном языке программы анализа не в виде системы уравнений, которая

будет получена автоматически, а в виде списка элементов структуры,

эквивалентной схемы, эскиза или чертежа конструкции.

3.2. Математические модели в процедурах анализа

на макроуровне

Исходные уравнения моделей

Исходное математическое описание процессов в объектах на макроуровне

представлено системами обыкновенных дифференциальных и алгебраических

уравнений. Аналитические решения таких систем при типичных значениях их

порядков в практических задачах получить не удается, поэтому в САПР

преимущественно используются алгоритмические модели. В этом параграфе

изложен обобщенный подход к формированию алгоритмических моделей на

макроуровне, справедливый для большинства приложений.

Исходными для формирования математических моделей объектов на

макроуровне являются компонентные и топологические уравнения.

Компонентными уравнениями называют уравнения, описывающие свойства

элементов (компонентов), другими словами, это уравнения математических

моделей элементов (ММЭ).

Топологические уравнения описывают взаимосвязи в составе моделируе-

мой системы.

В совокупности компонентные и топологические уравнения конкретной

физической системы представляют собой исходную математическую модель

системы (ММС).

Очевидно, что компонентные и топологические уравнения в системах раз-

личной физической природы отражают разные физические свойства, но могут

иметь одинаковый формальный вид. Одинаковая форма записи математичес-

ких соотношений позволяет говорить о формальных аналогиях компонентных и

топологических уравнений. Такие аналогии существуют для механических по-

ступательных, механических вращательных, электрических, гидравлических

(пневматических), тепловых объектов. Наличие аналогий приводит к практи-

чески важному выводу: значительная часть алгоритмов формирования и ис-

следования моделей в САПР оказывается инвариантной и может быть приме-

нена к анализу проектируемых объектов в разных предметных областях.

Единство математического аппарата формирования ММС особенно удобно при

анализе систем, состоящих из физически разнородных подсистем.

В перечисленных выше приложениях компонентные уравнения имеют вид

VK(dV/dt,\,t) = О, (3.1)

топологические уравнения —

Ft(V) = 0, (3.2)

88

3.2. Математические модели в процедурах анализа на макроуровне

где V = (v,, v2, ..., УЯ) — вектор фазовых переменных; t — время.

Различают фазовые переменные двух типов, их обобщенные наименова-

ния — фазовые переменные типа потенциала (например, электрическое напря-

жение) и типа потока (например, электрический ток). Каждое компонентное

уравнение характеризует связи между разнотипными фазовыми переменными,

относящимися к одному компоненту (например, закон Ома описывает связь

между напряжением и током в резисторе), а топологическое уравнение — связи

между однотипными фазовыми переменными в разных компонентах.

Модели можно представлять в виде систем уравнений или в графической

форме, если между этими формами установлено взаимно однозначное соот-

ветствие. В качестве графической формы часто используют эквивалентные

схемы.

Примеры компонентных и топологических уравнений

Рассмотрим несколько типов систем.

Электрические системы. В электрических системах фазовыми пере-

менными являются электрические напряжения и токи. Компонентами систем

могут быть простые двухполюсные элементы и более сложные двух- и мно-

гополюсные компоненты. К простым двухполюсникам относятся следующие

элементы: сопротивление, емкость и индуктивность, характеризуемые од-

ноименными параметрами R, С, L. В эквивалентных схемах эти элементы обо-

значают в соответствии с рис. 3.2, а.

Компонентные уравнения простых двухполюсников:

для сопротивления

для емкости

и = iR (закон Ома);

г = Cdu/dt;

(3.3)

(3.4)

для индуктивности и - Ldi/dt, (3.5)

где и — напряжение (точнее, падение напряжения на двухполюснике); / — ток.

Сопротивление Сухое трение

R

Емкость

С

Масса

М

Индуктивность

L

-DI-

Гибкость

а б

Рис. 3.2. Условные обозначения простых элементов в эквивалентных схемах:

а — электрических, гидравлических, тепловых; б—механических

89