35. Біноміальний закон розподілу

Імовірності в цьому законі визначаються за формулою m = 0,1,2, …, n. Закон справджується для схеми незалежних повторних випробувань, у кожному з яких подія А настає з імовірністю р. Частота настання події А має біноміальний закон розподілу. Імовірнісна твірна:

основні числові характеристики для цього закону:

1. M(X)=A’(1)= _X=1= _X=1=np(q+p)=np

,

2. A”(1)= = =

; ;

3. D(X)=A”+A’(1)-(A’(1))²=n(n-1)p²+np-(np)²=(np)²-np²+np-(np)²=(np)²-np²+np-(np)²=-np²+np=np(1-p)=npq

; (236)

.

36. Закон розподілу Пуассона

Дискретна випадкова величина має розподіл Пуассона, якщо вона набуває зліченної множини значень з імовірностями

Ймовірна твірна

Пуасонівський закон: M(X)=a=np; D(X)=a; P(X)=a.

32. — кореляційний момент (коваріація) випадкових величин Його можна обчислити також за формулою: Для незалежних випадкових величин кореляційний момент дорівнює нулю.

Кореляційний момент характеризує тісноту лінійної залежності між величинами. З цією самою метою застосовують коефіцієнт кореляції r1, або -1r_xy1.Отже якщо випадкові величини Х таУ є незалежними , то К_ху =0 і r_xy=0. Якщо кореляційний момент (коефіцієнт кореляції) дорівнює нулю, то величини називаються некорельованими.

30. Законом розподілу двох дискретних випадкових величин називають перелік можливих значень Y = y_i , X = x_j та відповідних їм імовір­ностей спільної появи.

Тут використано такі позначення

p_ij=p((Y=y_i) (X=x_j)); p_yi= ;p_xj=

Умова нормування має такий вигляд:

(109)

D(X)=M(X²)-M²(X)= = - M²(X)=

= (110)

(111)

(112)

D(Y)= (113)

33.Функцією розподілу ймовірностей системи двох випадкових величин (Х, Y) називають таку функцію двох аргументів х, у, яка визначає ймовірність cпільної появи подій (X < x)  (Y < y):

F(x,y)=P((X<x)(Y< y)).

Властивості f(X, y)

1. 0  F(x, y)  1, оскільки 0  P((X < x)  (y < y))  1.

2. Якщо один із аргументів F(x, y) прямує до + , то функція розподілу системи прямує до функції розподілу одного аргументу, що не прямує до + , а саме:

(124)

(125)

3.  . (126)

4.  (127)

5. F(x, y) є неспадною функцією аргументів х і у.

Характеристикою системи неперервних випадкових величин є щільність імовірностей.

(130)

Функція f (x, y) може існувати лише за умови, що F (x, y) є неперервною за аргументами х і у та двічі диференційовною.

Властивості f (x, y)

1. Функція f (x, y)  0, оскільки F(x, y) є неспадною відносно аргументів х і у.

2. Умова нормування системи двох неперервних випадкових величин (Х, Y) така:

(131)

Якщо , то (131) набирає такого вигляду:

. (132)

3. Імовірність розміщення системи змінних (х, у) в області обчислюється так:

(133)

Імовірність розміщення системи змінних (х, у) у прямокутній області D = (a < x < b, c < y < d)

(134)

4. Функція розподілу ймовірностей системи двох змінних визначається з рівняння

(135)

5. Якщо , то (136)

29. На одному й тому самому просторі елементарних подій  можна визначити не одну, а кілька випадкових величин. Така потреба постає, наприклад, коли досліджуваний об’єкт характеризується кількома випадковими параметрами. Так, у разі виготовлення валів такі їх параметри, як діаметр, довжина, овальність є випадковими величинами, значення яких наперед не можна передбачити. Або, скажімо, структура витрат випадково взятої окремої сім’ї на їжу, одяг, взуття, транспорт, задоволення духовних потреб також є випадковими величинами, визначеними на одному й тому самому просторі елементарних подій.

На багатовимірні випадкові величини поширюються майже без змін основні означення, які були розглянуті для одновимірної випадкової величини.

_Означення. Одночасна поява внаслідок проведення експерименту n випадкових величин (X₁, X₂, …, X_n) з певною ймовірністю являє собою n-вимірну випадкову величину, яку називають також си- стемою n випадкових величин, або n-вимірним випадковим вектором.

34. Щільність імовірностей для нормального закону на площині має вигляд

f(x,y)= exp +

.Тут exp (z) = e ^{– z}, де

Z= - -2r_{xy +} ;

a_x = M(Х),

X_x= (X),a_y=M(Y), _y= (Y), r_xy=

Якщо r_xy = 0, то щільність імовірностей набере такого вигляду:

f(x,y)= exp +

-∞<x<∞, -∞<y<∞

У цьому випадку

f(x,y)=f(x)f(y)=

Якщо а_х = а_у = 0, то

^{f(x,y)= , -∞<x<∞, -∞<y<∞}