14.Найімовірніше число появи події в схемі Бернуллі

Найімовірнішим числом появи випадкової події А в результаті n незалежних експериментів за схемою Бернуллі називається таке чис­ло m₀, для якого ймовірність Р_n (m₀) перевищує або в усякому разі є не меншою за ймовірність кожного з решти можливих наслідків експериментів.

Приклад. Імовірність появи випадкової події А в кожному з n = 8 незалежних експериментів є величиною сталою і дорівнює р = 0,5 (q = 1 – р = 0,5). Обчислити ймовірності подій для m = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Значення обчислених імовірностей наведено в таблицi:

m	0	1	2	3	4	5	6	7	8

Із таблиці бачимо, що при m = 4 імовірність набуває найбільшого значення, а саме . Отже, найімовірніше число появи події є m₀ = 4.

Зауважимо, що для визначення найімовірнішого числа появи події немає потреби обчислювати ймовірності для різних можливих значень .

Справді, запишемо формули для обчислення ймовірностей при значеннях m = m₀; m = m₀ – 1; m = m₀ + 1 і розглянемо їх відношення:

; (а)

.(б)

Об’єднавши нерівності (а) і (б), дістанемо: . (34) Число m₀ називають також модою.

15.Сформулювати локальну теорему Муавра-Лапласа

Локальна теорема Лапласа. Імовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких Р(А) = р, подія А відбудеться m раз, подається такою наближеною залежністю:

Локальна теорема Лапласа дає змогу обчислювати ймовірності , якщо n > 10 i p > 0,1.

Приклад 1. Фабрика випускає 75% виробів 1-го сорту. Із партії готових виробів навмання беруть 400 деталей. Обчислити ймовірності таких випадкових подій:

1) виробів 1-го сорту виявиться 290 шт.;2) 300 шт.; 3) 320 шт.

Р озв’язання. За умовою задачі маємо:

n = 400; p = 0,75; q = 0,25; m = 290; 300; 320.

1 ) ; ;

; ;

2) ; ;

3) ; .

16. Сформулювати інтегральну теорему Муавра-Лапласа

Імовірність того, що подія А відбудеться від до раз при проведенні n незалежних випробувань, у кожному з яких подія А відбувається з імовірністю р, подається формулою:

_{Pn(m1,m2) =Ф(x2)-Ф(x1), де Ф(x)= dt}

—функція Лапласа;

Значення функції Лапласа наводяться у спеціальних таблицях.

Приклад 1. Верстат-автомат виготовляє однотипні деталі. Імовірність того, що виготовлена одна деталь виявиться стандартною, є величиною сталою і дорівнює 0,95. За зміну верстатом було виготовлено 800 деталей. Яка ймовірність того, що стандартних деталей серед них буде: 1) від 720 до 780 шт.; 2) від 740 до 790 шт.?

Розв’язання. За умовою задачі:

; ; ; ; ;

1) ; ; Ф(3,23)+Ф(6,5)=0,49931+0,5=0,99931

2) ; ;

Ф(4,84)-Ф(-3,23)=Ф(4,84)+Ф(3,23)=0,5+0,499*31=0,99931

25. Дисперсія (позначається через ) випадкової величини Х визначається за формулою:

Основні властивості дисперсії:

1. 

2. 

3. якщо випадкові величини незалежні.

Середнє квадратичне відхилення (позначається літерою ) є квадратним коренем із дисперсії.

Якщо від випадкової величини віднімемо її математичне сподівання, то дістанемо центровану випадкову величину, математичне сподівання якої дорівнює нулю. Ділення випадкової величини на її середнє квадратичне відхилення називається норму­ванням цієї випадкової величини.

Випадкова величина має нульове математичне сподівання й одиничну дисперсію.

26. Модою (Мo) дискретної випадкової величини Х називають те її можливе значення, якому відповідає найбільша ймовірність появи.

Модою для неперервної випадкової величини Х називають те її можливе значення, якому відповідає максимальне значення щільності ймовірності:

f (Mо) = max.

Якщо випадкова величина має одну моду, то такий розподіл імовірностей називають одномодальним; якщо розподіл має дві моди — двомодальним і т. ін. Існують і такі розподіли, які не мають моди. Їх називають антимодальними.

Медіаною (Ме) неперервної випадкової величини Х називають те її значення, для якого виконуються рівність імовірностей подій:

P(- <X<Me)=P(Me<X< )F(Me)-F(- )=F( )-F(Me)

Приклад 5. Робітник під час роботи обслуговує три верстати-автомати. Імовірність того, що верстат-автомат потребує уваги робітника за певний проміжок часу, — величина стала і дорівнює 0,8.

Побудувати закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Х — числа верстатів, які потребують уваги робітника за певний проміжок часу. Знайти Мо.

Розв’язання.

Можливі значення випадкової величини:

Х = 0, 1, 2, 3.

Імовірності цих можливих значень такі:

p₁ = (0,2)³ = 0,008;

p₂ = 3р q² = 3  0,8  0,04 = 0,096;

p₃ = 3p²q = 3  0,64  0,2 = 0,384;

p₄ = p³ = (0,8)³ = 0,512.

Запишемо закон таблицею:

хі	0	1	2	3
рі	0,008	0,096	0,384	0,512

Із таблиці визначаємо Мo = 3.

Отже, дістаємо одномодальний розподіл.

27. Початковим моментом k-го порядку випадкової величини Х називають математичне сподівання величини Х ^k:

Коли коли k = 2, і т. д.

Для дискретної випадкової величиниХ: ;

для неперервної

Якщо Х  [а; b], то

Центральним моментом k-го порядку називається математичне сподівання від (Х – М(Х))^k:

Коли коли k = 2, ;

коли k = 3, коли k = 4, .

Для дискретної випадкової величини

для неперервної

Якщо Х  [а; b], то

.

28 Якщо ₃ = 0, то випадкова величина Х симетрично розподілена відносно М (Х). Оскільки ₃ має розмірність випадкової величини в кубі, то вводять безрозмірну величину — ко- ефіцієнт асиметрії: A_s=

Визначення ексцесу, характеризує плосковершинність, або гостровершинність щільності ймовірності f (x). Ексцес обчислюється за формулою

19. Формула Пуассона малоймовірних випадкових подій.

Імовірність того, що за проміжок часу t +  не відбудеться жодна подія, подається у вигляді:

(52)

Імовірність того, що за цей самий проміжок часу здійсниться m подій, визначається так:

Точність асимптотичних формул для великих значень n- числа повторних незалежних експериментів за схемою Бернуллі – знижується з наближенням p- до нуля .Тому при n → R,

p- 0 за умови np=a=const імовірність появи випадкової події m раз

(0<=m <=n),обчислюється за такою асимптотичною формулою:

Якщо в кожному з n незалежних повторних випробувань , а n велике, то

Приклад. Автомобілі, що рухаються по шосе в одному напрямку, утворюють найпростіший потік із параметром (тобто, через умовну лінію, яка проведена перпендикулярно до шосе в певному місці, у середньому проїжджає 3 автомобілі за 1 с. Обчислити ймовірність того, що за 2 с через умовну лінію проїде: 1) 4 автомобілі; 2) не більш як 4.

Розв’язання. Із умови задачі: .

За таблицею (дод. 3), коли знаходять:

1)  ;

2) 

= 0,002479+0,014873+0,044618+0,089235+0,133853=0,285058

20. Випадковою називається величина, яка може набувати різних числових значень. Строгіше означення випадкової величини пов’язане з поняттям простору елементарних подій. Нехай задано простір елементарних подій . Однозначна числова функція яку задано на просторі елементарних подій, називається випадковою величиною.

Строгіше означення випадкової величини пов’язане з поняттям простору елементарних подій. Нехай задано простір елементарних подій . Однозначна числова функція яку задано на просторі елементарних подій, називається випадковою величиною. Якщо простір  дискретний, то випадкова величина дискретна. Неперервному простору елементарних подій відповідає неперервна випадкова величина.

21. Співвідношення між значеннями випадкової величини і їхніми ймовірностями називається законом розподілу випадкової величини.

Для дискретних випадкових величин закони розподілу можуть задаватися множиною значень, що їх набуває випадкова величина, і ймовірностями цих значень.

Якщо то або, якщо величина набуває зліченної множини значень, то Закони розподілу дискретних випадкових величин задаються у табличній формі (подаються значення випадкової величини і їхні ймовірності), аналітичній (наводиться формула, за якою обчислюються ймовірності для заданих значень випадкової величини), графічній (у прямокутній системі координат задається набір точок сполучивши точки відрізками прямих, дістане­мо многокутник розподілу ймовірностей).

22.Функція розподілуУніверсальним способом задання закону розподілу ймовірностей є функція розподілу Цю функцію можна тлумачити так: унаслідок експерименту випадкова величина може набути значення, меншого за х .

Властивості:

1.0F(x)1

2.F(x) є неспадною функцією,а саме F(x₂)F(x₁), якщо х₂х₁

Приклад 3. Закон розподілу дискретної випадкової величини Х задано таблицею

Х = хі	–4	1	2	5	9
Р(Х = хі) = рі	0,1	0,1	0,5	р4	0,2

Знайти ймовірність можливого значення випадкової величини Х = х₄ = 5.

Розв’язання. Згідно з умовою нормування (61) маємо:

=p₁+p₂+p₃+p₄+p₅=10,1+0,1+0,5+p₄+0,2=1p₄=0,1

23.Для неперервних випадкових величин закон розподілу ймовірностей зручно описувати з допомогою щільності ймовірностей, яку позначають f (x).

Щільністю ймовірностей неперервної випадкової величини Х називається перша похідна від інтегральної функції F(x):

f(x)=lim_{x0 =}

_=F’(x)=

звідки

Оскільки

P(x<X<x+x)=F(x+x)-F(x)=

=dF(x)=f(x)dx

то добуток f (x) dx — ймовірність того, що випадкова величина Х міститиметься у проміжку [х, х + dx], де .

Властивості f (x)

1. . Ця властивість випливає з означення щільності ймовірності як першої похідної від F(x) за умови, що F(x) є неспадною функцією.

2. Умова нормування неперервної випадкової величини Х:

24. Математичним сподіванням, або середнім значенням, МХ випадкової величини, називається ряд (для дискретних випадкових величин) і інтеграл (для неперервних випадкових величин), якщо вони абсолютно збіжні. Математичне сподівання має такі властивості:

1. (С — стала);

2. ;

3. 

4. якщо Х і Y — незалежні випадкові величини.