5.Дати означення відносної частоти появи події

Відносної частотою події А називається відношення числа дослідів, у результаті яких сталася подія А до загального числа дослідів W(A)=m/n .

Зауваження: відміну відносної частоти від ймовірності полягає в тому, що ймовірність обчислюється без безпосереднього твори дослідів, а відносна частота - після досвіду.

Приклад 1. У коробці знаходиться кулі. З коробки навмання витягають 5 куль і 2 з них виявилися червоними. Знайти відносну частоту появи червоного кулі.

Рішення:

Оскільки з коробки навмання вилучено 5 кульок і 2 з них виявилися червоними, то відносна частота появи червоного кулі дорівнює:

При досить великій кількості проведених дослідів відносна частота змінюється мало, коливаючись близько одного числа. Це число може бути прийнято за вірогідність події, т.е.Р(A)=lim W(A) .

6.Дати геометричне та статистичне означення ймовірності

Геометрична ймовірність – це поняття ймовірності,що запроваджується так: Нехай Ω - деяка підмножина прямої, площини чи простору. Випадкова подія A - підмножина Ω. Тоді ймовірність випадкової події визначається формулою: де - довжина, площа чи об’єм множин A та Ω.

Це пов'язане з інтерпретацією ймовірності як міри на обраному просторі елементарних подій. В даному випадку він збігається з eвклідовим простором.

Використання геометричної ймовірності

• Голка Бюффона: Яка ймовірність того, що голка кинута на поверхню розграфлену паралельними прямими розташованими через однакові проміжки перетне одну з цих прямих?

• Парадокс Бертрана: Яке матсподівання довжини випадково обраної хорди на одиничному колі?

• Яка ймовірність того, що три випадково обрані на площині точки формують гострокутній трикутник?

Статистичною ймовірністю події А називається відношення кількості m випробувань, в яких подія А відбулась, до загальної кількості виконаних випробувань n:

7.Дати визначення умовної ймовірності

Умо́вна ймові́рність — ймовірність однієї події за умови, що інша подія вже відбулася.

Умовна ймовірність та її властивості.

Імовірність події A, визначена за умови, що подія В відбулася, називається умовною і позначається P(A/B). P(A/B)= P(AB) / P(B), P(B) 0. Властивості умовної ймовірності:

P(A/B)=0, якщо =

1. P(A/B)=1, якщо =B

2. у решті випадків 0<P(A/B)<1.

8.Формули множення ймовірностей для залежних та незалежних подій

Згідно із (17) і (18) маємо:

Р (А ∩ В) = Р (В) Р (А / В) = Р (А) Р (В / А). (19)

Формула множення для n залежних випадкових подій А₁,А₂, … А₄:

Р = Р (А₁) Р(А₂ / А₁) Р(А₃ / А₁А₂) … Р(А_n / А₁А₂ … А_n–1) (20)

Приклад 1. У ящику міститься 15 однотипних деталей. Із них 9 стандартні, а решта — браковані. Деталі виймають по одній без повернення. Так було вийнято три деталі. Обчислити ймовірності таких випадкових подій:

1) А — три деталі виявляться стандартними;

2) В — усі три виявляться бракованими;

3) С — дві стандартні й одна бракована.

Розв’язання. Нехай А_і — поява стандартної, — бракованої деталі при і-му вийманні.

П одія , ,

.

Оскільки випадкові події А_і, є залежними, то:

Р(А) = Р(А₁∩А₂∩А₃) = Р(А₁) Р(А₂ / А₁) Р(А₃ / А₁А₂) = ;

Якщо випадкові події А і В є незалежними, то Р(А / В) = Р(А), Р(В / А) = Р(В).

Формули (19), (20) наберуть такого вигляду:

Р(А∩В) = Р(А) Р(В); (21)

. (22)

Приклад 1. Гральний кубик і монету підкидають по одному разу. Яка ймовірність того, що при цьому на грані кубика випаде число, кратне 3, а на монеті герб?

Розв’язання. Нехай поява числа, кратного трьом — подія А, а поява герба — подія В. Випадкові події А і В є між собою незалежними. Отже,

;

.