Задача 1

Определить момент инерции конструкции состоящей из однородных стержней 1 и 2, относительно оси Oz, если массы стержней m₁ = 2 кг, m₂ = 1 кг, а размеры l₁ = 0,6 м, l₂ = 0,9 м.

Решение

Стержень 1 представим в виде материальной точки. Момент инерции системы находим как сумма моментов инерции 2-х тел.

  – момент инерции материальной точки;

– момент инерции однородного стержня, если ось вращения проходит через конец стержня.

Момент инерции системы:

.

Ответ:  .

9. Теорема об изменении кинетического момента

Моментом количества движения материальной точки относительно центра О называется вектор

, (9.1)

где – радиус-вектор материальной точки относительно точки O.

При движении точки в плоскости относительно некоторого центра О ее кинетический момент относительно данного центра может быть определен как алгебраическая величина следующим образом (поступательное движение):

, (9.2)

где h – кратчайшее расстояние между точкой O и вектором скорости .

Главный момент количеств движения материальных точек механической системы относительно некоторого центра О является кинетическим моментом системы относительно данного центра О и определяется как:

. (9.3)

Кинетический момент твердого тела вращающегося вокруг неподвижной оси равен произведению момента инерции тела относительно оси вращения на его угловую скорость.

. (9.4)

Теорема об изменении момента количества движения материальной точки имеет вид – производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно некоторого центра О равна сумме моментов сил, действующих на точку относительно того же центра.

. (9.5)

Теорема об изменении кинетического момента механической системы может быть выражена следующим образом

. (9.6)

Производная по времени вектора кинетического момента системы относительно некоторого центра О равна главному моменту внешних сил, действующих на систему относительно того же центра.

Примеры решения задач

Задача 1

Трубка вращается вокруг вертикальной оси Oz, ее момент инерции I_z = 0,075 кг∙м². По трубке под действие внутренних сил системы движется шарик М массой m = 0,1 кг. Когда шарик находится на оси Oz, угловая скорость ω₀ = 4 рад/с. При каком расстоянии l угловая скорость будет равна ω₁ = 3 рад/с?

Решение

Из следствия теоремы об изменении кинетического момента следует, что:

где – момент инерции системы;

– момент инерции материальной точки в момент когда точка находилась на оси вращения

– момент инерции материальной точки в момент когда точка находилась от оси вращения на расстоянии l.

Ответ:

Задача 2

По стержню АВ движется ползун С согласно закону АС = 0,2 + 1,2t. Ползун считать материальной точкой массой m = 1 кг. Момент инерции вала ОА I_z = 2,5 кг∙м². Определить угловую скорость вала в момент времени t₁ = 1 c, если начальная угловая скорость ω₀ = 10 рад/с.

Решение

Из следствия теоремы об изменении кинетического момента следует, что:

при t₀ = 0 c, при t₁ = 1 c.

Ответ: