Ханойские башни

Согласно легенде в Великом храме города Бенарас, под собором, отмечающим середину мира, находится бронзовый диск, на котором укреплены 3 алмазных стержня, высотой в один локоть и толщиной с пчелу. Давным-давно, в самом начале времен монахи этого монастыря провинились перед богом Брамой. Разгневанный, Брама воздвиг три высоких стержня и на один из них поместил 64 диска из чистого золота, причем так, что каждый меньший диск лежит на большем. Как только все 64 диска будут переложены со стержня, на который Бог Брама сложил их при создании мира, на другой стержень, башня вместе с храмом обратятся в пыль и под громовые раскаты погибнет мир.

В процессе требуется, чтобы больший диск ни разу не оказывался над меньшим. Монахи в затруднении, в какой же последовательности стоит делать перекладывания? Требуется снабдить их софтом для расчета этой последовательности.

Независимо от Брамы данную головоломку в конце 19 века предложил французский математик Эдуард Люка. В продаваемом варианте обычно использовалось 7-8 дисков (рис. 4).

Рис. 4. Головоломка «Ханойские башни».

Предположим, что существует решение для n-1 диска. Тогда для перекладывания n дисков надо действовать следующим образом:

1) Перекладываем n-1 диск.

2) Перекладываем n-й диск на оставшийся свободным штырь.

3) Перекладываем стопку из n-1 диска, полученную в пункте (1) поверх n-го диска.

Поскольку для случая n = 1 алгоритм перекладывания очевиден, то по индукции с помощью выполнения действий (1) - (3) можем переложить произвольное количество дисков.

Создадим рекурсивную процедуру, печатающую всю последовательность перекладываний для заданного количества дисков. Такая процедура при каждом своем вызове должна печатать информацию об одном перекладывании (из пункта 2 алгоритма). Для перекладываний из пунктов (1) и (3) процедура вызовет сама себя с уменьшенным на единицу количеством дисков.

//n - количество дисков

//a, b, c - номера штырьков. Перекладывание производится со штырька a,

//на штырек b при вспомогательном штырьке c.

procedure Hanoi(n, a, b, c: integer);

begin

if n > 1 then

begin

Hanoi(n-1, a, c, b);

writeln(a, ' -> ', b);

Hanoi(n-1, c, b, a);

end else

writeln(a, ' -> ', b);

end;

Итерация (лат. iteratio -- повторяю) в широком смысле слова -- термин, обозначающий повторение какого-либо действия, явления или процесса. В программировании Итерация -- это организация обработки данных, при которой действия повторяются многократно, не приводя при этом к вызовам самих себя.

Рекурсивная форма организации алгоритма обычно выглядит изящнее итерационной и даёт более компактный текст программы, но при выполнении, как правило, медленнее и может вызвать переполнение стека (при каждом входе в программу её локальные переменные размещаются в особым образом организованной области памяти, называемой программным стеком). Переполнение стека особенно ощутимо сказывается при работе с сопроцессором: если программа использует арифметический сопроцессор, результат любой вещественной функции возвращается через аппаратный стек сопроцессора, рассчитанный всего на 8 уровней. Если, например, попытаться заменить тип REAL функции FAC (см. листинг 3) на EXTENDED, программа перестанет работать уже при N=8.

Архитектура стека непосредственно поддерживает рекурсию, поскольку каждый вызов процедуры автоматически размещает новую копию локальных переменных. Например, при каждом рекурсивном вызове функции факториала требуется одно слово памяти для параметра и одно слово памяти для адреса возврата. То, что издержки на рекурсию больше, чем на итерацию, связано с дополнительными командами, затраченными на вход в процедуру и выход из неё. Некоторые компиляторы пытаются выполнить оптимизацию, называемую оптимизацией хвостовой рекурсии (tail-recursion) или оптимизацией последнего вызова (last-call). Если единственный рекурсивный вызов в процедуре - последний оператор процедуры, то можно автоматически перевести рекурсию в итерацию.

Перевод числа в двоичную систему.

Получение цифр двоичного числа, как известно, происходит с помощью деления с остатком на основание системы счисления 2. Если есть число , то его последняя цифра в его двоичном представлении равна

Взяв же целую часть от деления на 2:

получим число, имеющее то же двоичное представление, но без последней цифры. Таким образом, достаточно повторять приведенные две операции пока поле очередного деления не получим целую часть равную 0. Без рекурсии это будет выглядеть так:

while x>0 do

begin

c:=x mod 2;

x:=x div 2;

end;

Проблема здесь в том, что цифры двоичного представления вычисляются в обратном порядке (сначала последние). Чтобы напечатать число в нормальном виде придется запомнить все цифры в элементах массива и выводить в отдельном цикле.

С помощью рекурсии нетрудно добиться вывода в правильном порядке без массива и второго цикла. А именно:

procedure BinaryRepresentation(x: integer);

var

c, x: integer;

begin

{Первый блок. Выполняется в порядке вызова процедур}

c := x mod 2;

x := x div 2;

{Рекурсивный вызов}

if x>0 then

BinaryRepresentation(x);

{Второй блок. Выполняется в обратном порядке}

write(c);

end;

Вообще говоря, никакого выигрыша мы не получили. Цифры двоичного представления хранятся в локальных переменных, которые свои для каждого работающего экземпляра рекурсивной процедуры. То есть, память сэкономить не удалось. Даже наоборот, тратим лишнюю память на хранение многих локальных переменных x. Тем не менее, такое решение кажется мне красивым.