Индивидуальные задания

1. Проверьте себя:

№	Примеры	Ответы
1.	(-1;1)
2.
3.

Задание№1. Проверить, является ли функция решением дифференциального уравнения.

1		2
3		4
5		6

Задание№2. Найти частное решение.

1	(1;2)	2
3	xdx = dy (1;0)	4	xdx=ydy (2;1)
5	(2;0)	6	(0;0)
7	(-1;1)	8	(1;4)

Задание №3. Найти общее решение.

1		2
3		4
5		6

Практическая работа № 7

Тема работы: Решение дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

Теоретическая справка

Если коэффициенты при у, yи y– постоянные, то уравнение ypyqy 0, где p и q – вещественные числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Общее решение уравнения имеет вид: y₀ C y₁ C y₂ , где у1 и у2 – два линейно независимых частных решения этого уравнения, С1 и С2 – произвольные постоянные.

Для нахождения линейно независимых частных решений у1 и у2 уравнения используется квадратное уравнение вида

k² pk q 0 , которое называется характеристическим уравнением для уравнения.

В таблице 1 приведены виды функций у1 и у2 и вид общего решения равнения в зависимости от вида корней характеристического уравнения.

Таблица 1.

Корни характеристического уравнения	Вид функций у1 и у2	Вид общего решения уравнения
Вещественные различные k1 k2	y1=ek1x y2=ek2x	y0=C1 ek1x+C2 ek2x
Вещественные равные k1 k2 k	y1 ekx, y2 =xekx	y0=C1 ekx+C2 xekx
Комплексно- сопряженные k1,2 i	y1 =e xcos( x), y2 e xsin(x 	y= e x(C1 cos( x)+C2 sin(x 

Пример 1. Найти общее решение уравнения y16y 0.

Решение. Характеристическое уравнение для данного однородного уравнения имеет вид k2 16 0 (коэффициент при yравен нулю). Его корнями являются комплексные числа k1 4i, k2 4i. Здесь 0, 4. Тогда общее решение данного уравнения: y C1 cos(4x) C2 sin(4x).